Упр.40.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) 27^корень(x — 1) = корень(9^(x + 1));
б) 2^(13 — x^2) = корень(2) * корень(32);
в) 3^x * (1/3)^корень(x + 1) = 243;
г) (0,1^корень(x + 1))^(x + 6) = 1/10^6.

1. а) $$27^{\sqrt{x-1}}=\sqrt{9^{x+1}}$$

   $$\left(3^3\right)^{\sqrt{x-1}}=\sqrt{\left(3^2\right)^{x+1}}$$

   $$3^{3\sqrt{x-1}}=3^{x+1}$$

   $$3\sqrt{x-1}=x+1$$

   Область допустимых значений:

   $$x-1\ge 0,\quad x+1\ge 0$$

   $$x\ge 1$$

   Возведём в квадрат:

   $$9(x-1)=(x+1)^2$$

   $$9x-9=x^2+2x+1$$

   $$x^2-7x+10=0$$

   $$x_1=2,\quad x_2=5$$

   Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

2. б) $$2^{13-x^2}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{32}$$

   $$\sqrt{2}\cdot\sqrt{32}=\sqrt{64}=8=2^3$$

   $$2^{13-x^2}=2^3$$

   $$13-x^2=3$$

   $$x^2=10$$

   $$x=\pm\sqrt{10}$$

3. в) $$3^x\cdot\left(\frac13\right)^{\sqrt{x+1}}=243$$

   $$3^x\cdot 3^{-\sqrt{x+1}}=3^5$$

   $$3^{x-\sqrt{x+1}}=3^5$$

   $$x-\sqrt{x+1}=5$$

   Область допустимых значений:

   $$x+1\ge 0,\quad x-5\ge 0$$

   $$x\ge 5$$

   Возведём в квадрат:

   $$x-5=\sqrt{x+1}$$

   $$x^2-10x+25=x+1$$

   $$x^2-11x+24=0$$

   $$x_1=3,\quad x_2=8$$

   ОДЗ удовлетворяет только корень $$x=8$$.

4. г) $$\left(0{,}1^{\sqrt{x+1}}\right)^{\sqrt{x+6}}=\frac1{10^6}$$

   $$0{,}1^{\sqrt{x+1}\cdot\sqrt{x+6}}=0{,}1^6$$

   $$\sqrt{(x+1)(x+6)}=6$$

   $$x^2+7x+6=36$$

   $$x^2+7x-30=0$$

   $$x_1=3,\quad x_2=-10$$

   Область допустимых значений:

   $$x+1\ge 0,\quad x+6\ge 0$$

   $$x\ge -1$$

   Подходит только корень $$x=3$$.

Ответ

а) $$2; 5$$; б) $$\pm\sqrt{10}$$; в) $$8$$; г) $$3$$.