Упр.40.10 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) (корень(10) / 3)^(3x^2 — 3) = 0,81^-2x;
б) ((4)корень(2) / корень(3))^(x^2 + 4) = 20,25^(x + 1).

а)

$$\left(\frac{\sqrt{10}}{3}\right)^{3x^2-3}=0{,}81^{-2x}$$

$$\frac{\sqrt{10}}{3}=\sqrt{\frac{10}{9}}=\left(\frac{10}{9}\right)^{\frac12}, \qquad 0{,}81=\frac{81}{100}=\left(\frac{9}{10}\right)^2$$

Тогда
$$\left(\frac{10}{9}\right)^{\frac12(3x^2-3)}=\left(\frac{10}{9}\right)^{4x}$$

Приравниваем показатели:
$$\frac12(3x^2-3)=4x$$
$$3x^2-3=8x$$
$$3x^2-8x-3=0$$

$$D=(-8)^2-4\cdot 3\cdot(-3)=64+36=100$$

$$x=\frac{8\pm 10}{6}$$

$$x_1=3,\qquad x_2=-\frac13$$

б)

$$\left(\frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt[4]{3}}\right)^{x^2+4}=20{,}25^{x+1}$$

$$\frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt[4]{3}}=\sqrt[4]{\frac23}=\left(\frac23\right)^{\frac14}, \qquad 20{,}25=\frac{81}{4}=\left(\frac94\right)^2=\left(\frac{2}{9}\right)^{-2}$$

Тогда
$$\left(\frac23\right)^{\frac14(x^2+4)}=\left(\frac23\right)^{-2(x+1)}$$

Приравниваем показатели:
$$\frac14(x^2+4)=-2(x+1)$$
$$x^2+4=-8x-8$$
$$x^2+8x+12=0$$

$$D=8^2-4\cdot 1\cdot 12=64-48=16$$

$$x=\frac{-8\pm 4}{2}$$

$$x_1=-2,\qquad x_2=-6$$

Ответ

а) $$-\frac13,\ 3$$; б) $$-2,\ -6$$.