Упр.39.47 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) 2^x > = 2/x;
б) (1/4)^x < -4/x;
в) 5^x < = 5/x;
г) (1/8)^x > -8/x.
$$2^x \ge \frac{2}{x}$$
При $$x<0$$ неравенство выполняется автоматически, так как $$2^x>0$$, а $$\frac{2}{x}<0$$.
При $$x>0$$ рассмотрим функции $$y=2^x$$ и $$y=\frac{2}{x}$$. На $$\left(0;+\infty\right)$$ первая возрастает, вторая убывает, значит достаточно найти точку пересечения:
$$2^1=\frac{2}{1}=2.$$
Следовательно, при $$x>0$$ получаем $$x\ge 1$$.
Итак, $$x\in(-\infty;0)\cup[1;+\infty).$$
$$\left(\frac14\right)^x<-\frac{4}{x}$$
Решения возможны только при $$x<0$$, так как правая часть должна быть положительной.
На $$(-\infty;0)$$ функция $$y=\left(\frac14\right)^x$$ убывает, а функция $$y=-\frac{4}{x}$$ возрастает. Найдём точку пересечения:
$$\left(\frac14\right)^{-1}=4,\qquad -\frac{4}{-1}=4.$$
Тогда неравенство выполняется при
$$-1<x<0.$$
$$5^x\le \frac{5}{x}$$
Решения возможны только при $$x>0$$.
На $$\left(0;+\infty\right)$$ функция $$y=5^x$$ возрастает, а $$y=\frac{5}{x}$$ убывает. Точка пересечения:
$$5^1=\frac{5}{1}=5.$$
Значит,
$$0<x\le 1.$$
$$\left(\frac18\right)^x>-\frac{8}{x}$$
При $$x>0$$ неравенство выполняется автоматически, так как левая часть положительна, а правая отрицательна.
При $$x<0$$ рассмотрим функции $$y=\left(\frac18\right)^x$$ и $$y=-\frac{8}{x}$$. На $$(-\infty;0)$$ первая убывает, вторая возрастает. Найдём точку пересечения:
$$\left(\frac18\right)^{-1}=8,\qquad -\frac{8}{-1}=8.$$
Следовательно, при $$x<0$$ получаем $$x<-1$$.
Итак, $$x\in(-\infty;-1)\cup(0;+\infty).$$
Ответ
а) $$x\in(-\infty;0)\cup[1;+\infty)$$; б) $$x\in(-1;0)$$; в) $$x\in(0;1]$$; г) $$x\in(-\infty;-1)\cup(0;+\infty)$$.
