Упр.39.30 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) f(x1) * f(x2) = f(x1 + x2);
б) f(x + 1) * f(2x) = 2f^3(x);
в) f(-2x) = 1 / f^2(x);
г) f(cos^2 x) = корень(2f(cos 2x).

Решение

1. $$f(x_1)\cdot f(x_2)=2^{x_1}\cdot 2^{x_2}=2^{x_1+x_2}=f(x_1+x_2).$$

2. $$f(x+1)\cdot f(2x)=2^{x+1}\cdot 2^{2x}=2^{3x+1}=2\cdot 2^{3x}=2f^3(x).$$

3. $$f(-2x)=2^{-2x}=\frac{1}{2^{2x}}=\frac{1}{f^2(x)}.$$

4. $$f(\cos^2 x)=2^{\cos^2 x}=2^{\frac{1+\cos 2x}{2}}.$$

   С другой стороны,

   $$\sqrt{2f(\cos 2x)}=\sqrt{2\cdot 2^{\cos 2x}}=\sqrt{2^{1+\cos 2x}}=2^{\frac{1+\cos 2x}{2}}.$$

   Значит,

   $$f(\cos^2 x)=\sqrt{2f(\cos 2x)}.$$

Ответ

Все равенства доказаны.