Упр.32.9 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

у = х^3 + Зх^2 — 45х — 2 на отрезке:
а) [-6; 0];
б) [1; 2];
в) [-6; -1];
г) [0; 2].

Найдём производную функции:

$$y=x^3+3x^2-45x-2$$

$$y’ = 3x^2+6x-45 = 3(x^2+2x-15)=3(x+5)(x-3)$$

Критические точки: $$x=-5$$ и $$x=3$$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений на отрезке достаточно вычислить значения функции в концах отрезка и в критических точках, которые принадлежат этому отрезку.

1. На отрезке $$[-6;0]$$:

   $$y(-6)=(-6)^3+3\cdot(-6)^2-45\cdot(-6)-2=-216+108+270-2=160$$

   $$y(-5)=(-5)^3+3\cdot(-5)^2-45\cdot(-5)-2=-125+75+225-2=173$$

   $$y(0)=0^3+3\cdot0^2-45\cdot0-2=-2$$

   Следовательно, $$y_{\min}=-2$$, $$y_{\max}=173$$.

2. На отрезке $$[1;2]$$:

   $$y(1)=1^3+3\cdot1^2-45\cdot1-2=1+3-45-2=-43$$

   $$y(2)=2^3+3\cdot2^2-45\cdot2-2=8+12-90-2=-72$$

   Следовательно, $$y_{\min}=-72$$, $$y_{\max}=-43$$.

3. На отрезке $$[-6;-1]$$:

   $$y(-6)=160$$

   $$y(-5)=173$$

   $$y(-1)=(-1)^3+3\cdot(-1)^2-45\cdot(-1)-2=-1+3+45-2=45$$

   Следовательно, $$y_{\min}=45$$, $$y_{\max}=173$$.

4. На отрезке $$[0;2]$$:

   $$y(0)=-2$$

   $$y(2)=-72$$

   Следовательно, $$y_{\min}=-72$$, $$y_{\max}=-2$$.

Ответ

а) $$y_{\min}=-2$$, $$y_{\max}=173$$;

б) $$y_{\min}=-72$$, $$y_{\max}=-43$$;

в) $$y_{\min}=45$$, $$y_{\max}=173$$;

г) $$y_{\min}=-72$$, $$y_{\max}=-2$$.