Упр.32.33 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

При каких размерах на его изготовление пойдёт наименьшее количество материала?

Пусть $$a$$ — сторона квадратного дна бака, $$h$$ — его высота. Тогда по условию

$$a^2h=343,$$

откуда

$$h=\frac{343}{a^2}.$$

Площадь полной поверхности закрытого бака:

$$S=2a^2+4ah.$$

Подставим выражение для $$h$$:

$$S(a)=2a^2+4a\cdot \frac{343}{a^2}=2a^2+\frac{1372}{a}, \qquad a>0.$$

Найдём минимум функции:

$$S'(a)=4a-\frac{1372}{a^2}.$$

Приравняем производную к нулю:

$$4a-\frac{1372}{a^2}=0,$$

$$4a^3=1372,$$

$$a^3=343,$$

$$a=7.$$

Тогда

$$h=\frac{343}{7^2}=7.$$

Следовательно, наименьшее количество материала потребуется при размерах бака $$7 \times 7 \times 7$$ м.

Ответ

$$7\text{ м} \times 7\text{ м} \times 7\text{ м}.$$