Упр.32.23 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

чтобы сумма утроенного первого слагаемого и куба второго слагаемого была наименьшей.

Пусть первое слагаемое равно $$x$$, а второе — $$y$$. Тогда

$$x+y=3, \qquad x>0,\ y>0.$$

Нужно найти минимум функции

$$f=3x+y^3.$$

Выразим $$x$$ через $$y$$:

$$x=3-y.$$

Тогда

$$f(y)=3(3-y)+y^3=9-3y+y^3.$$

Найдём производную:

$$f'(y)=-3+3y^2=3(y^2-1)=3(y-1)(y+1).$$

Так как $$y>0$$, то критическая точка в области допустимых значений одна: $$y=1$$.

Проверим знак производной: при $$0<y<1$$ имеем $$f'(y)<0$$, а при $$y>1$$ — $$f'(y)>0$$. Значит, при $$y=1$$ функция достигает минимума.

Тогда

$$x=3-1=2.$$

Следовательно, число $$3$$ нужно представить в виде суммы $$2$$ и $$1$$.

Ответ

$$3=2+1$$