Упр.32.2 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) у = 2 sin x, [-пи/2; пи];
б) у = -2cos x, [-2пи; -пи/2];
в) y = 6cos x, [-пи/2; 0];
г) у = -0,5sin x, [-пи/2; пи/2].
а) $$y=2\sin x,\quad x\in\left[-\frac{\pi}{2};\pi\right]$$
Функция непрерывна на отрезке, значит, находим значения в концах отрезка и в стационарных точках.
$$y’=(2\sin x)’=2\cos x$$
$$2\cos x=0 \Rightarrow \cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}$$
Вычислим значения функции:
$$y\left(-\frac{\pi}{2}\right)=2\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-2$$
$$y\left(\frac{\pi}{2}\right)=2\sin\frac{\pi}{2}=2$$
$$y(\pi)=2\sin\pi=0$$Следовательно, $$y_{\min}=-2,\quad y_{\max}=2.$$
б) $$y=-2\cos x,\quad x\in\left[-2\pi;-\frac{\pi}{2}\right]$$
$$y’=(-2\cos x)’=2\sin x$$
$$2\sin x=0 \Rightarrow \sin x=0 \Rightarrow x=-2\pi,\,-\pi$$
Вычислим значения функции:
$$y(-2\pi)=-2\cos(-2\pi)=-2$$
$$y(-\pi)=-2\cos(-\pi)=2$$
$$y\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-2\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)=0$$Следовательно, $$y_{\min}=-2,\quad y_{\max}=2.$$
в) $$y=6\cos x,\quad x\in\left[-\frac{\pi}{2};0\right]$$
$$y’=(6\cos x)’=-6\sin x$$
На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};0\right]$$ имеем $$\sin x\le 0,$$ значит, $$y’\ge 0,$$ и функция возрастает.
Тогда
$$y\left(-\frac{\pi}{2}\right)=6\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)=0$$
$$y(0)=6\cos 0=6$$Следовательно, $$y_{\min}=0,\quad y_{\max}=6.$$
г) $$y=-0{,}5\sin x,\quad x\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$
$$y’=(-0{,}5\sin x)’=-0{,}5\cos x$$
На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$ имеем $$\cos x\ge 0,$$ значит, $$y’\le 0,$$ и функция убывает.
Тогда
$$y\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-0{,}5\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=0{,}5$$
$$y\left(\frac{\pi}{2}\right)=-0{,}5\sin\frac{\pi}{2}=-0{,}5$$Следовательно, $$y_{\min}=-0{,}5,\quad y_{\max}=0{,}5.$$
Ответ
а) $$y_{\min}=-2,\ y_{\max}=2$$;
б) $$y_{\min}=-2,\ y_{\max}=2$$;
в) $$y_{\min}=0,\ y_{\max}=6$$;
г) $$y_{\min}=-0{,}5,\ y_{\max}=0{,}5$$.
