Упр.32.11 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

у = х^4 — 8x^3 + 10х^2 + 1 на отрезке:
а) [-1; 2];
б) [1; 6];
в) [-2; 3];
г) [-1; 7]

Найдём производную функции:

$$y=x^4-8x^3+10x^2+1$$

$$y’ = 4x^3-24x^2+20x = 4x(x^2-6x+5)=4x(x-1)(x-5)$$

Критические точки: $$x=0,\; x=1,\; x=5.$$

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения на отрезке, вычислим значения функции в концах отрезка и в критических точках, которые лежат внутри него.

а) $$[-1;2]$$

$$y(-1)=(-1)^4-8(-1)^3+10(-1)^2+1=20$$

$$y(0)=1$$

$$y(1)=1-8+10+1=4$$

$$y(2)=16-64+40+1=-7$$

Следовательно, $$y_{\min}=-7,$$ $$y_{\max}=20.$$

б) $$[1;6]$$

$$y(1)=4$$

$$y(5)=5^4-8\cdot 5^3+10\cdot 5^2+1=625-1000+250+1=-124$$

$$y(6)=6^4-8\cdot 6^3+10\cdot 6^2+1=1296-1728+360+1=-71$$

Следовательно, $$y_{\min}=-124,$$ $$y_{\max}=4.$$

в) $$[-2;3]$$

$$y(-2)=(-2)^4-8(-2)^3+10(-2)^2+1=121$$

$$y(0)=1$$

$$y(1)=4$$

$$y(3)=3^4-8\cdot 3^3+10\cdot 3^2+1=81-216+90+1=-44$$

Следовательно, $$y_{\min}=-44,$$ $$y_{\max}=121.$$

г) $$[-1;7]$$

$$y(-1)=20$$

$$y(0)=1$$

$$y(1)=4$$

$$y(5)=-124$$

$$y(7)=7^4-8\cdot 7^3+10\cdot 7^2+1=2401-2744+490+1=148$$

Следовательно, $$y_{\min}=-124,$$ $$y_{\max}=148.$$

Ответ

а) $$y_{\min}=-7,\; y_{\max}=20$$

б) $$y_{\min}=-124,\; y_{\max}=4$$

в) $$y_{\min}=-44,\; y_{\max}=121$$

г) $$y_{\min}=-124,\; y_{\max}=148$$