Упр.21.32 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) (1 + cos 40 + cos 80) / (sin 80 + sin 40) * tg 40;
6) (1 — cos 25 + cos 50) / (sin 50 — sin 25) — tg 65.

а)

$$ \frac{1+\cos 40^\circ+\cos 80^\circ}{\sin 80^\circ+\sin 40^\circ}\cdot \tg 40^\circ $$

Используем формулы:
$$ \cos 80^\circ=2\cos^2 40^\circ-1,\qquad \sin 80^\circ=2\sin 40^\circ\cos 40^\circ. $$
Тогда
$$ \frac{1+\cos 40^\circ+\cos 80^\circ}{\sin 80^\circ+\sin 40^\circ}\cdot \tg 40^\circ = \frac{1+\cos 40^\circ+2\cos^2 40^\circ-1}{2\sin 40^\circ\cos 40^\circ+\sin 40^\circ}\cdot \tg 40^\circ. $$

Вынесем множители:
$$ = \frac{\cos 40^\circ(2\cos 40^\circ+1)}{\sin 40^\circ(2\cos 40^\circ+1)}\cdot \tg 40^\circ = \ctg 40^\circ\cdot \tg 40^\circ =1. $$

б)

$$ \frac{1-\cos 25^\circ+\cos 50^\circ}{\sin 50^\circ-\sin 25^\circ}-\tg 65^\circ $$

Используем формулы:
$$ \cos 50^\circ=2\cos^2 25^\circ-1,\qquad \sin 50^\circ=2\sin 25^\circ\cos 25^\circ. $$
Тогда
$$ \frac{1-\cos 25^\circ+\cos 50^\circ}{\sin 50^\circ-\sin 25^\circ}-\tg 65^\circ = \frac{1-\cos 25^\circ+2\cos^2 25^\circ-1}{2\sin 25^\circ\cos 25^\circ-\sin 25^\circ}-\tg 65^\circ. $$

Вынесем множители:
$$ = \frac{\cos 25^\circ(2\cos 25^\circ-1)}{\sin 25^\circ(2\cos 25^\circ-1)}-\tg 65^\circ = \ctg 25^\circ-\tg 65^\circ. $$
Так как
$$ \ctg 25^\circ=\tg(90^\circ-25^\circ)=\tg 65^\circ, $$
то
$$ \ctg 25^\circ-\tg 65^\circ=0. $$

Ответ

а) $$1$$; б) $$0$$.