Упр.2.8 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) у = 3 — 2x, x принадлежит [-1; 3];
б) у = -2х2 + 2х, х принадлежит [-3; 2];
в) у = 3 — 4x, x принадлежит (- бесконечность; 3];
г) у = х2 + 4х + 5, х принадлежит (0; 1].
а) $$y=3-2x,\quad x\in[-1;3]$$
Это линейная функция с отрицательным коэффициентом при $$x$$, значит, она убывает на всей области определения. Поэтому наибольшее значение достигается при $$x=-1$$, а наименьшее — при $$x=3$$:
$$y(-1)=3-2\cdot(-1)=5$$
$$y(3)=3-2\cdot 3=-3$$Ответ: $$y_{\max}=5,\; y_{\min}=-3$$.
б) $$y=-2x^2+2x,\quad x\in[-3;2]$$
Парабола направлена ветвями вниз, значит, наибольшее значение достигается в вершине. Найдём абсциссу вершины:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\cdot(-2)}=\frac12$$
Так как $$\frac12\in[-3;2]$$, вычислим значение функции в вершине и на концах отрезка:
$$y(-3)=-2\cdot(-3)^2+2\cdot(-3)=-18-6=-24$$
$$y\left(\frac12\right)=-2\cdot\left(\frac12\right)^2+2\cdot\frac12=-\frac12+1=\frac12$$
$$y(2)=-2\cdot 2^2+2\cdot 2=-8+4=-4$$Следовательно, наибольшее значение равно $$\frac12$$, а наименьшее равно $$-24$$.
Ответ: $$y_{\max}=\frac12,\; y_{\min}=-24$$.
в) $$y=3-4x,\quad x\in(-\infty;3]$$
Это линейная функция с отрицательным коэффициентом при $$x$$, значит, она убывает. Наибольшего значения на промежутке $$(-\infty;3]$$ нет, так как при $$x\to -\infty$$ имеем $$y\to +\infty$$. Наименьшее значение достигается при $$x=3$$:
$$y(3)=3-4\cdot 3=-9$$
Ответ: $$y_{\min}=-9,\; y_{\max}$$ не существует.
г) $$y=x^2+4x+5,\quad x\in(0;1]$$
Парабола направлена ветвями вверх. Найдём абсциссу вершины:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2}=-2$$
Точка минимума лежит левее промежутка $$ (0;1] $$, поэтому на этом промежутке функция возрастает. Значит, наименьшее значение стремится к значению при $$x\to 0+$$, но точка $$x=0$$ не входит в промежуток, а наибольшее значение достигается при $$x=1$$:
$$y(1)=1^2+4\cdot 1+5=10$$
При $$x\to 0+$$ получаем $$y\to 5$$, но это значение не достигается.
Ответ: $$y_{\max}=10,\; y_{\min}$$ не существует.
