Упр.19.23 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) корень(2)/2 sin x + корень(2)/2 cos x = 1;
б) sin x + cos x = 1;
в) корень(3)/2 cos x — 1/2 sin x = 1;
г) корень(3)cos x — sin x = 1.

1. а) $$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x=1$$

   Используем формулу:

   $$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x.$$

   Тогда

   $$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1.$$

   Следовательно,

   $$x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$

   откуда

   $$x=\frac{\pi}{4}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

2. б) $$\sin x+\cos x=1$$

   Умножим обе части на $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$:

   $$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

   Тогда

   $$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

   Отсюда

   $$x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2\pi k \quad \text{или} \quad x+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi k,$$

   значит

   $$x=2\pi k \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

3. в) $$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x-\frac{1}{2}\sin x=1$$

   Используем формулу:

   $$\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x-\frac{1}{2}\sin x.$$

   Тогда

   $$\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=1.$$

   Следовательно,

   $$x+\frac{\pi}{6}=2\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$

   откуда

   $$x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

4. г) $$\sqrt{3}\cos x-\sin x=1$$

   Умножим обе части на $$\frac{1}{2}$$:

   $$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x-\frac{1}{2}\sin x=\frac{1}{2}.$$

   Тогда

   $$\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}.$$

   Отсюда

   $$x+\frac{\pi}{6}=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

   Следовательно,

   $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$;
б) $$x=2\pi k,\ \frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$;
в) $$x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$;
г) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ \frac{\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$.