Упр.19.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) (cos 105 * cos 5 + sin 105 * cos 85В°) / (cos 95 * cos 5 + sin 95 * sin 185);
6) (sin 75 * cos 5 — cos 75 * cos 85) / (cos 375 * cos 5 — sin 15 sin 365).

1. а)

   $$\frac{\cos 105^\circ \cdot \cos 5^\circ+\sin 105^\circ \cdot \cos 85^\circ}{\cos 95^\circ \cdot \cos 5^\circ+\sin 95^\circ \cdot \sin 185^\circ}$$

   Используем формулы приведения:
   $$\cos 105^\circ=\cos(90^\circ+15^\circ)=-\sin 15^\circ,$$
   $$\cos 85^\circ=\cos(90^\circ-5^\circ)=\sin 5^\circ,$$
   $$\cos 95^\circ=\cos(90^\circ+5^\circ)=-\sin 5^\circ,$$
   $$\sin 185^\circ=\sin(180^\circ+5^\circ)=-\sin 5^\circ.$$

   Тогда
   $$\frac{-\sin 15^\circ \cdot \cos 5^\circ+\cos 15^\circ \cdot \sin 5^\circ}{-\sin 5^\circ \cdot \cos 5^\circ-\cos 5^\circ \cdot \sin 5^\circ}= \frac{\sin(5^\circ-15^\circ)}{-\sin(5^\circ+5^\circ)}= \frac{\sin(-10^\circ)}{-\sin 10^\circ}=1.$$

2. б)

   $$\frac{\sin 75^\circ \cdot \cos 5^\circ-\cos 75^\circ \cdot \cos 85^\circ}{\cos 375^\circ \cdot \cos 5^\circ-\sin 15^\circ \cdot \sin 365^\circ}$$

   Преобразуем углы:
   $$\cos 85^\circ=\sin 5^\circ,\quad \cos 375^\circ=\cos(360^\circ+15^\circ)=\cos 15^\circ,\quad \sin 365^\circ=\sin(360^\circ+5^\circ)=\sin 5^\circ.$$

   Тогда
   $$\frac{\sin 75^\circ \cdot \cos 5^\circ-\cos 75^\circ \cdot \sin 5^\circ}{\cos 15^\circ \cdot \cos 5^\circ-\sin 15^\circ \cdot \sin 5^\circ} = \frac{\sin(75^\circ-5^\circ)}{\cos(15^\circ+5^\circ)} = \frac{\sin 70^\circ}{\cos 20^\circ}.$$

   Так как $$\sin 70^\circ=\cos 20^\circ,$$ то
   $$\frac{\sin 70^\circ}{\cos 20^\circ}=1.$$

Ответ

а) $$1$$; б) $$1$$.