Упр.18.7 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) 6cos^2 x + cos x — 1 = 0;
6) 2cos^2 3x — 5cos 3x — 3 = 0;
в) 2cos^2 x — cos x — 3 = 0;
г) 2cos^2 x/3 + 3cos x/3 — 2 = 0.

1. а) $$6\cos^2 x+\cos x-1=0$$

   Пусть $$y=\cos x$$. Тогда получаем квадратное уравнение:

   $$6y^2+y-1=0$$

   $$D=1^2-4\cdot 6\cdot(-1)=25$$

   $$y_{1,2}=\frac{-1\pm 5}{12}$$

   $$y_1=\frac13,\quad y_2=-\frac12$$

   Тогда:

   $$\cos x=\frac13 \quad \Rightarrow \quad x=\pm \arccos \frac13+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

   $$\cos x=-\frac12 \quad \Rightarrow \quad x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

2. б) $$2\cos^2 3x-5\cos 3x-3=0$$

   Пусть $$y=\cos 3x$$. Тогда:

   $$2y^2-5y-3=0$$

   $$D=(-5)^2-4\cdot 2\cdot(-3)=49$$

   $$y_{1,2}=\frac{5\pm 7}{4}$$

   $$y_1=3,\quad y_2=-\frac12$$

   Значение $$y=3$$ не подходит, так как $$\cos 3x\le 1$$.

   Остаётся:

   $$\cos 3x=-\frac12$$

   $$3x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

   $$x=\pm \frac{2\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z$$

3. в) $$2\cos^2 x-\cos x-3=0$$

   Пусть $$y=\cos x$$. Тогда:

   $$2y^2-y-3=0$$

   $$D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot(-3)=25$$

   $$y_{1,2}=\frac{1\pm 5}{4}$$

   $$y_1=\frac32,\quad y_2=-1$$

   Значение $$y=\frac32$$ не подходит, так как $$\cos x\le 1$$.

   Следовательно,

   $$\cos x=-1$$

   $$x=\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

4. г) $$2\cos^2 \frac{x}{3}+3\cos \frac{x}{3}-2=0$$

   Пусть $$y=\cos \frac{x}{3}$$. Тогда:

   $$2y^2+3y-2=0$$

   $$D=3^2-4\cdot 2\cdot(-2)=25$$

   $$y_{1,2}=\frac{-3\pm 5}{4}$$

   $$y_1=\frac12,\quad y_2=-2$$

   Значение $$y=-2$$ не подходит, так как $$\cos \frac{x}{3}\ge -1$$.

   Остаётся:

   $$\cos \frac{x}{3}=\frac12$$

   $$\frac{x}{3}=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

   $$x=\pm \pi+6\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

Ответ

а) $$x=\pm \arccos \frac13+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

б) $$x=\pm \frac{2\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z$$

в) $$x=\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

г) $$x=\pm \pi+6\pi n,\ n\in\mathbb Z$$