Упр.18.32 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) cos (РїРё/2 — x/2) — 3cos (РїРё — x/2) = 0;
6) корень(3)sin (РїРё — x/3) + 3sin (РїРё/2 — x/3) = 0.

а)

$$\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{x}{2}\right)-3\cos\left(\pi-\frac{x}{2}\right)=0$$

Используем формулы:
$$\cos\left(\frac{\pi}{2}-t\right)=\sin t,\qquad \cos(\pi-t)=-\cos t.$$
Тогда
$$\sin\frac{x}{2}+3\cos\frac{x}{2}=0.$$

Разделим на $$\cos\frac{x}{2}$$:
$$\tg\frac{x}{2}+3=0,$$
$$\tg\frac{x}{2}=-3.$$

Отсюда
$$\frac{x}{2}=-\arctg 3+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
значит
$$x=-2\arctg 3+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б)

$$\sqrt{3}\sin\left(\pi-\frac{x}{3}\right)+3\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{x}{3}\right)=0$$

Используем формулы:
$$\sin(\pi-t)=\sin t,\qquad \sin\left(\frac{\pi}{2}-t\right)=\cos t.$$
Тогда
$$\sqrt{3}\sin\frac{x}{3}+3\cos\frac{x}{3}=0.$$

Разделим на $$\cos\frac{x}{3}$$:
$$\sqrt{3}\tg\frac{x}{3}+3=0,$$
$$\tg\frac{x}{3}=-\sqrt{3}.$$

Следовательно,
$$\frac{x}{3}=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
откуда
$$x=-\pi+3\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=-2\arctg 3+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

б) $$x=-\pi+3\pi n,\ n\in\mathbb Z$$