Упр.18.30 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) 4sin^2 x/2 — 3 = 2sin x/2 * cos x/2;
6) 3sin^2 x/3 + 4cos^2 x/3 = 3 + корень(3)sin x/3 * cos x/3.

а)

$$4\sin^2\frac{x}{2}-3=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$$
$$4\sin^2\frac{x}{2}-3\left(\sin^2\frac{x}{2}+\cos^2\frac{x}{2}\right)-2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}=0$$
$$\sin^2\frac{x}{2}-2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}-3\cos^2\frac{x}{2}=0$$

При $$\cos\frac{x}{2}\neq 0$$ разделим на $$\cos^2\frac{x}{2}$$:

$$\tg^2\frac{x}{2}-2\tg\frac{x}{2}-3=0$$
$$t=\tg\frac{x}{2}$$
$$t^2-2t-3=0$$
$$\left(t-3\right)\left(t+1\right)=0$$
$$t_1=3,\quad t_2=-1$$

Тогда

$$\tg\frac{x}{2}=3 \Rightarrow \frac{x}{2}=\arctg 3+\pi n \Rightarrow x=2\arctg 3+2\pi n$$
$$\tg\frac{x}{2}=-1 \Rightarrow \frac{x}{2}=-\frac{\pi}{4}+\pi n \Rightarrow x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n$$

б)

$$3\sin^2\frac{x}{3}+4\cos^2\frac{x}{3}=3+\sqrt{3}\sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3}$$
$$3\sin^2\frac{x}{3}+4\cos^2\frac{x}{3}-3\left(\sin^2\frac{x}{3}+\cos^2\frac{x}{3}\right)-\sqrt{3}\sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3}=0$$
$$\cos^2\frac{x}{3}-\sqrt{3}\sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3}=0$$
$$\cos\frac{x}{3}\left(\cos\frac{x}{3}-\sqrt{3}\sin\frac{x}{3}\right)=0$$

Отсюда:

$$\cos\frac{x}{3}=0 \Rightarrow \frac{x}{3}=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{3\pi}{2}+3\pi n$$
$$\cos\frac{x}{3}-\sqrt{3}\sin\frac{x}{3}=0 \Rightarrow \tg\frac{x}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \frac{x}{3}=\frac{\pi}{6}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+3\pi n$$

Ответ

а) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; x=2\arctg 3+2\pi n,\; n\in\mathbb{Z}$$

б) $$x=\frac{3\pi}{2}+3\pi n,\; x=\frac{\pi}{2}+3\pi n,\; n\in\mathbb{Z}$$