Дополнительная задача 7 Глава 3 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) площадь S=S(x)=0,5yx=2,5+32x^6e^(6-4x);
б) (e^(6-4x))’=-4e^(6-4x);
в) (x^6e^(6-4x))’=2x^5e^(6-4x)(3-2x);
г) S'(x)=0 на этом отрезке только при x=1,5;
д) знак S'(x)=0 при переходе через x=1,5 меняется с «+» на «-»;
е) S_наи=S(1,5)=367.

Пусть $$B(x;y)$$ — точка графика функции $$y=\frac{5}{x}+64x^5e^{6-4x}, \quad 0{,}7 \le x \le 2,$$ а $$C(x;0)$$ — точка на оси $$Ox$$ с той же абсциссой. Тогда высота треугольника $$OBC$$ равна $$y$$, а основание $$OC=x$$.

Тогда площадь треугольника

$$ S(x)=\frac12 \cdot x \cdot y =\frac12 x\left(\frac{5}{x}+64x^5e^{6-4x}\right) =2{,}5+32x^6e^{6-4x}. $$

Найдём производную:

$$ \left(e^{6-4x}\right)’=-4e^{6-4x}, $$

$$ \left(x^6e^{6-4x}\right)’=6x^5e^{6-4x}-4x^6e^{6-4x} =2x^5e^{6-4x}(3-2x). $$

Следовательно,

$$ S'(x)=32\cdot 2x^5e^{6-4x}(3-2x)=64x^5e^{6-4x}(3-2x). $$

Приравняем производную к нулю:

$$ 64x^5e^{6-4x}(3-2x)=0. $$

Так как $$64x^5e^{6-4x}>0$$ на данном отрезке, то

$$ 3-2x=0,\quad x=1{,}5. $$

Проверим знак производной по разные стороны от этой точки:

$$ S'(1)=64\cdot 1^5\cdot e^2\cdot (3-2)>0, $$

$$ S'(2)=64\cdot 2^5\cdot e^{-2}\cdot (3-4)<0. $$

Значит, при переходе через $$x=1{,}5$$ производная меняет знак с «+» на «−», поэтому в этой точке достигается максимум площади.

Найдём значение площади:

$$ S_{\max}=S(1{,}5)=2{,}5+32\cdot 1{,}5^6\cdot e^{6-4\cdot 1{,}5}. $$

Так как $$e^{6-6}=1$$, а $$1{,}5^6=\frac{729}{64},$$ то

$$ S_{\max}=2{,}5+32\cdot \frac{729}{64} =2{,}5+364{,}5 =367. $$

Ответ

$$367$$