Дополнительная задача 5 Глава 3 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) Для a>0 найдите f(a);
б) для a>0 найдите f'(a);
в) составьте уравнение касательной при x=a;
г) найдите точку пересечения касательной с осью абсцисс;
д) докажите, что подкасательная равна 1, вне зависимости от значения а;
е) объясните, как построить касательную с помощью циркуля и линейки.
Дана функция $$f(x)=e^x.$$
При $$x=a$$ получаем
$$f(a)=e^a.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=e^x,$$
значит
$$f'(a)=e^a.$$
Уравнение касательной к графику функции в точке $$x=a$$:
$$y=f(a)+f'(a)(x-a).$$
Подставим найденные значения:
$$y=e^a+e^a(x-a)=e^a(x-a+1).$$
Найдём точку пересечения касательной с осью $$Ox$$. Для этого положим $$y=0$$:
$$e^a(x-a+1)=0.$$
Так как $$e^a\neq 0,$$ то
$$x-a+1=0,\quad x=a-1.$$
Следовательно, точка пересечения:
$$\left(a-1;0\right).$$
Подкасательная — это отрезок на оси $$Ox$$ от точки касания до точки пересечения касательной с осью абсцисс. Его длина равна
$$l=a-(a-1)=1.$$
Она не зависит от значения $$a.$$
Построение касательной с помощью циркуля и линейки:
- в точке касания опустить перпендикуляр на ось $$Ox$$;
- на оси $$Ox$$ отложить от точки пересечения с перпендикуляром отрезок длины $$1$$ влево;
- соединить полученную точку с точкой касания — это и будет касательная.
Ответ
а) $$f(a)=e^a$$; б) $$f'(a)=e^a$$; в) $$y=e^a(x-a+1)$$; г) $$\left(a-1;0\right)$$; д) $$l=1$$; е) касательную строят по точке касания и отрезку длины $$1$$ на оси $$Ox$$.
