Упр.38.5 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) имеет ровно один корень;
б) не имеет корней;
в) имеет положительный корень;
г) имеет более одного корня?

Преобразуем уравнение:

$$a^2x-4x+6=a^2+a$$

$$x(a^2-4)=a^2+a-6$$

$$x(a-2)(a+2)=(a+3)(a-2)$$

Рассмотрим случаи.

1. Если $$a\neq 2$$ и $$a\neq -2$$, то можно разделить на $$a-2$$:

   $$x=\frac{a+3}{a+2}$$

   Тогда уравнение имеет единственный корень.

2. Если $$a=2$$, то получаем:

   $$0\cdot x=0$$

   Это верно при любом $$x$$, значит корней бесконечно много.

3. Если $$a=-2$$, то получаем:

   $$-4x+6=2$$

   $$x=1$$

   Здесь корень единственный.

Для положительного корня при $$a\neq \pm 2$$ нужно:

$$\frac{a+3}{a+2}>0$$

Отсюда

$$a<-3 \quad \text{или} \quad a>-2$$

Но значения $$a=-2$$ и $$a=2$$ нужно исключить, так как они рассмотрены отдельно.

Ответ

а) $$a\neq 2$$, $$a\neq -2$$;

б) $$a=-2$$;

в) $$a<-3$$ или $$a>-2$$, $$a\neq 2$$;

г) $$a=2$$.