Упр.36.16 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) {4x^2 — 3xy — y^2 = 0; 32x^2 — 36xy + 9y^2 = 5};
б) {x^2 + xy + 4y^2 = 6; 3x^2 + 8y^2 = 14};
в) {7x^2 — 4xy — 3y^2 = -32; 15x^2 + xy — 2y^2 = 0};
г) {x^2 — 3xy + y^2 = -1; 3x^2 — xy + 3y^2 = 13}.
а) Из первого уравнения:
$$4x^2-3xy-y^2=0,\quad y^2+3xy-4x^2=0.$$
Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно $$y$$:
$$D=(3x)^2+4\cdot 4x^2=9x^2+16x^2=25x^2.$$
Тогда
$$y_1=\frac{-3x-5x}{2}=-4x,\qquad y_2=\frac{-3x+5x}{2}=x.$$
1) Если $$y=-4x$$, то
$$32x^2-36x(-4x)+9(-4x)^2=5,$$
$$32x^2+144x^2+144x^2=5,$$
$$320x^2=5,\quad x^2=\frac{1}{64},\quad x=\pm\frac18.$$
Тогда $$y=-4x=\mp\frac12.$$
2) Если $$y=x$$, то
$$32x^2-36x^2+9x^2=5,$$
$$5x^2=5,\quad x^2=1,\quad x=\pm1,$$
значит, $$y=x=\pm1.$$
б) Вычтем первое уравнение, умноженное на $$3$$, из второго, умноженного на $$7$$:
$$3(3x^2+8y^2)-7(x^2+xy+4y^2)=0,$$
$$9x^2+24y^2-7x^2-7xy-28y^2=0,$$
$$2x^2-7xy-4y^2=0.$$
Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно $$y$$:
$$4y^2+7xy-2x^2=0.$$
Тогда
$$D=(7x)^2+4\cdot 4\cdot 2x^2=49x^2+32x^2=81x^2,$$
$$y_1=\frac{-7x-9x}{8}=-2x,\qquad y_2=\frac{-7x+9x}{8}=\frac{x}{4}.$$
1) Если $$y=-2x$$, то
$$3x^2+8\cdot 4x^2=14,$$
$$35x^2=14,\quad x^2=\frac25,$$
$$x=\pm\sqrt{\frac25},\qquad y=\mp 2\sqrt{\frac25}.$$
2) Если $$y=\frac{x}{4}$$, то
$$3x^2+8\cdot \frac{x^2}{16}=14,$$
$$3x^2+\frac{x^2}{2}=14,$$
$$\frac{7}{2}x^2=14,\quad x^2=4,\quad x=\pm2,$$
$$y=\pm\frac12.$$
в) Из второго уравнения выразим $$y$$:
$$15x^2+xy-2y^2=0,\quad 2y^2-xy-15x^2=0.$$
Рассмотрим как квадратное уравнение относительно $$y$$:
$$2y^2-xy-15x^2=0.$$
Тогда
$$D=x^2+120x^2=121x^2,$$
$$y_1=\frac{x-11x}{4}=-\frac{5x}{2},\qquad y_2=\frac{x+11x}{4}=3x.$$
1) Если $$y=-\frac{5x}{2}$$, то
$$7x^2-4x\left(-\frac{5x}{2}\right)-3\left(\frac{25x^2}{4}\right)=-32,$$
$$7x^2+10x^2-\frac{75x^2}{4}=-32,$$
$$\frac{1}{4}x^2=32,\quad x^2=\frac{128}{7},$$
$$x=\pm\sqrt{\frac{128}{7}},\qquad y=\mp\frac{5}{2}\sqrt{\frac{128}{7}}.$$
2) Если $$y=3x$$, то
$$7x^2-4x\cdot 3x-3(3x)^2=-32,$$
$$7x^2-12x^2-27x^2=-32,$$
$$-32x^2=-32,\quad x^2=1,\quad x=\pm1,$$
$$y=\pm3.$$
г) Сложим уравнения:
$$\left(x^2-3xy+y^2\right)+\left(3x^2-xy+3y^2\right)=12,$$
$$4x^2-4xy+4y^2=12,$$
$$x^2-xy+y^2=3.$$
Но из первого уравнения системы имеем
$$x^2-3xy+y^2=-1.$$
Вычтем его из полученного:
$$2xy=4,\quad xy=2.$$
Подставим в первое уравнение:
$$x^2-2\cdot 3+y^2=-1,$$
$$x^2+y^2=5.$$
Тогда
$$x^2+y^2=5,\quad xy=2.$$
Следовательно, $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения
$$t^2-(x+y)t+2=0,$$
а из $$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$$ получаем
$$5=(x+y)^2-4,\quad (x+y)^2=9,\quad x+y=\pm3.$$
1) Если $$x+y=3$$, то $$t^2-3t+2=0$$, откуда $$t=1$$ или $$t=2$$.
2) Если $$x+y=-3$$, то $$t^2+3t+2=0$$, откуда $$t=-1$$ или $$t=-2$$.
Ответ
а) $$\left(-\frac18;\frac12\right),\ \left(\frac18;-\frac12\right),\ (-1;-1),\ (1;1).$$
б) $$\left(-\sqrt{\frac25};\ 2\sqrt{\frac25}\right),\ \left(\sqrt{\frac25};\ -2\sqrt{\frac25}\right),\ (2;\tfrac12),\ (-2;-\tfrac12).$$
в) $$\left(-\sqrt{\frac{128}{7}};\ \frac{5}{2}\sqrt{\frac{128}{7}}\right),\ \left(\sqrt{\frac{128}{7}};\ -\frac{5}{2}\sqrt{\frac{128}{7}}\right),\ (-1;-3),\ (1;3).$$
г) $$(-2;-1),\ (2;1),\ (-1;-2),\ (1;2).$$
