Упр.33.7 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) v(4x^2+3)=v(x^4+5) и 4x^2+3=x^4+5;
б) (cos^2(x)+1)^(1/4)=1 и cos(x)=0;
в) lg(x^2+4)=lg(x+4) и x^2+4=x+4;
г) v(3^x+12)=v(9^x+3^(x-2)) и 3^x+12=9^x+3^(x-2);
д) (sin^4(x)+1)^(1/6)=1 и sin^2(x)=0;
е) ln(x^2)=ln(x) и x^2=x.
а) $$\sqrt{4x^2+3}=\sqrt{x^4+5}$$ и $$4x^2+3=x^4+5$$.
Для первого уравнения подкоренные выражения положительны при любых $$x$$, значит можно возвести обе части в квадрат:
$$4x^2+3=x^4+5.$$
Следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: да.
б) $$\sqrt[4]{\cos^2 x+1}=1$$ и $$\cos x=0$$.
Первое уравнение равносильно:
$$\cos^2 x+1=1,$$
$$\cos^2 x=0,$$
$$\cos x=0.$$
Следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: да.
в) $$\lg(x^2+4)=\lg(x+4)$$ и $$x^2+4=x+4$$.
Для первого уравнения нужно учесть ОДЗ:
$$x^2+4>0,\quad x+4>0.$$
Так как логарифмы с одинаковыми основаниями равны, то
$$x^2+4=x+4,$$
то есть
$$x^2-x=0,$$
$$x(x-1)=0,$$
$$x=0 \text{ или } x=1.$$
Оба значения удовлетворяют ОДЗ, значит уравнения равносильны.
Ответ: да.
г) $$\sqrt{3^x+12}=\sqrt{9^x+3^{x-2}}$$ и $$3^x+12=9^x+3^{x-2}$$.
Для первого уравнения подкоренные выражения неотрицательны при любых $$x$$, поэтому можно возвести обе части в квадрат:
$$3^x+12=9^x+3^{x-2}.$$
Следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: да.
д) $$\sqrt[6]{\sin^4 x+1}=1$$ и $$\sin^2 x=0$$.
Первое уравнение равносильно:
$$\sin^4 x+1=1,$$
$$\sin^4 x=0,$$
$$\sin^2 x=0.$$
Следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: да.
е) $$\ln(x^2)=\ln x$$ и $$x^2=x$$.
Для первого уравнения ОДЗ: $$x^2>0$$ и $$x>0,$$ то есть $$x>0.$$
Так как логарифмы равны, то
$$x^2=x,$$
$$x(x-1)=0,$$
$$x=0 \text{ или } x=1.$$
С учётом ОДЗ подходит только $$x=1.$$
Уравнение $$x^2=x$$ имеет ещё корень $$x=0,$$ который не подходит для первого уравнения. Значит, уравнения не равносильны.
Ответ: нет.
