Упр.29.6 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) w = z / i; в) w = i — z / i;
б) w = 2iz + 1; г) w = (3 — 4i)z + 1 + i. Решите систему уравнений:
а) {log_3(x^2+6x-4)-log_3(y)=1, 3x-y=2};
б) {log_(1/3)(5x-y)=log_(1/3)(3x+4), log_9(x^2+x-2y)=log_9(x^2+y)};
в) {log_4(x^2+2x+4)-log_4(y)=1, 2x+y=7};
г) {log_6(7x-y)=log_6(4x+3), log_(1/7)(x^2+2x-y)=log_(1/7)(x^2+3y)}.
Вершины треугольника: $$z_1=-1-i,\quad z_2=-1+2i,\quad z_3=1+2i.$$
Найдём длины его сторон:
$$|z_2-z_1|=|3i|=3,$$
$$|z_3-z_2|=|2|=2,$$
$$|z_3-z_1|=|2+3i|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}.$$
Значит, периметр исходного треугольника
$$P_0=3+2+\sqrt{13}=5+\sqrt{13},$$
а площадь
$$S_0=\frac12\cdot 3\cdot 2=3.$$
При отображении $$w=kz+m$$ все длины умножаются на $$|k|,$$ а площади — на $$|k|^2.$$
а) $$w=\frac{z}{i},\quad k=\frac1i=-i,\quad |k|=1.$$
$$P=P_0\cdot |k|=5+\sqrt{13},$$
$$S=S_0\cdot |k|^2=3.$$
б) $$w=2iz+1,\quad k=2i,\quad |k|=2.$$
$$P=P_0\cdot |k|=2(5+\sqrt{13})=10+2\sqrt{13},$$
$$S=S_0\cdot |k|^2=3\cdot 4=12.$$
в) $$w=i-\frac{z}{i},\quad k=-\frac1i=i,\quad |k|=1.$$
$$P=5+\sqrt{13},$$
$$S=3.$$
г) $$w=(3-4i)z+1+i,\quad k=3-4i,\quad |k|=\sqrt{3^2+(-4)^2}=5.$$
$$P=P_0\cdot |k|=5(5+\sqrt{13})=25+5\sqrt{13},$$
$$S=S_0\cdot |k|^2=3\cdot 25=75.$$
Ответ
а) $$P=5+\sqrt{13},\ S=3.$$
б) $$P=10+2\sqrt{13},\ S=12.$$
в) $$P=5+\sqrt{13},\ S=3.$$
г) $$P=25+5\sqrt{13},\ S=75.$$
Ход решения
а)
$$\begin{cases} \log_3(x^2+6x-4)-\log_3 y=1,\\ 3x-y=2 \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$y=3x-2.$$
Подставим в первое:
$$\log_3\frac{x^2+6x-4}{3x-2}=1,$$
$$\frac{x^2+6x-4}{3x-2}=3,$$
$$x^2+6x-4=9x-6,$$
$$x^2-3x+2=0,$$
$$x=1 \text{ или } x=2.$$
Тогда
$$x=1 \Rightarrow y=1,\qquad x=2 \Rightarrow y=4.$$
Проверка ОДЗ выполнена: оба решения подходят.
б)
$$\begin{cases} \log_{1/3}(5x-y)=\log_{1/3}(3x+4),\\ \log_9(x^2+x-2y)=\log_9(x^2+y) \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$5x-y=3x+4,$$
$$y=2x-4.$$
Из второго:
$$x^2+x-2y=x^2+y,$$
$$x=3y.$$
Подставим $$y=2x-4$$:
$$x=3(2x-4),$$
$$x=6x-12,$$
$$5x=12,$$
$$x=\frac{12}{5},\qquad y=2\cdot \frac{12}{5}-4=\frac{4}{5}.$$
в)
$$\begin{cases} \log_4(x^2+2x+4)-\log_4 y=1,\\ 2x+y=7 \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$y=7-2x.$$
Подставим в первое:
$$\log_4\frac{x^2+2x+4}{7-2x}=1,$$
$$\frac{x^2+2x+4}{7-2x}=4,$$
$$x^2+2x+4=28-8x,$$
$$x^2+10x-24=0,$$
$$x=-12 \text{ или } x=2.$$
Тогда
$$x=-12 \Rightarrow y=31,\qquad x=2 \Rightarrow y=3.$$
г)
$$\begin{cases} \log_6(7x-y)=\log_6(4x+3),\\ \log_{1/7}(x^2+2x-y)=\log_{1/7}(x^2+3y) \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$7x-y=4x+3,$$
$$y=3x-3.$$
Из второго:
$$x^2+2x-y=x^2+3y,$$
$$2x=4y,$$
$$x=2y.$$
Подставим $$y=3x-3$$:
$$x=2(3x-3),$$
$$x=6x-6,$$
$$5x=6,$$
$$x=\frac65,\qquad y=\frac35.$$
Ответ
а) $$ (1;1),\ (2;4) $$;
б) $$ \left(\frac{12}{5};\frac45\right) $$;
в) $$ (-12;31),\ (2;3) $$;
г) $$ \left(\frac65;\frac35\right) $$.
