Упр.27.9 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

26.5. Найдите:
а) вероятность р «успеха»;
б) вероятность q «неудачи»;
в) среднее np для n=10 000 повторений;
г) среднее квадратическое v(npq);
д) границы а и b при отклонении k от np не более чем на 40;
е) вероятность P_n(a?k?b). Докажите, что уравнение не имеет корней:
а) v(16-x^2)=v(3x-13);
б) ln(8x-22)=ln(13-6x);
в) log_2(x^2-7)+log_2(5-x^2)=3;
г) ln(-3x-5)=ln(9-4x^2);
д) v(5x-11)=v(13-7x);
е) lg(x^2-5x)+lg(7x-2x^2)=0,25.

Пусть в барабане всего $$2+8=10$$ шаров.

а) Вероятность успеха:

$$p=\frac{2}{10}=0{,}2.$$

б) Вероятность неудачи:

$$q=\frac{8}{10}=0{,}8.$$

в) Для $$n=10000$$ среднее число успехов:

$$np=10000\cdot 0{,}2=2000.$$

г) Среднее квадратическое:

$$\sqrt{npq}=\sqrt{10000\cdot 0{,}2\cdot 0{,}8}=\sqrt{1600}=40.$$

д) При отклонении от $$np$$ не более чем на $$40$$:

$$a=2000-40=1960,$$

$$b=2000+40=2040.$$

е) Тогда

$$P_{10000}(1960\le k\le 2040)=\Phi\!\left(\frac{2040-2000}{40}\right)-\Phi\!\left(\frac{1960-2000}{40}\right).$$

Так как $$\Phi(1)=0{,}3413,$$ то

$$P_{10000}(1960\le k\le 2040)=\Phi(1)+\Phi(1)=2\cdot 0{,}3413=0{,}6826.$$

2. Докажем, что уравнения не имеют корней.

а) $$\sqrt{16-x^2}=\sqrt{3x-13}.$$

Область определения:

$$16-x^2\ge 0,\qquad 3x-13\ge 0.$$

Отсюда

$$-4\le x\le 4,\qquad x\ge \frac{13}{3}.$$

Эти условия несовместны, значит, корней нет.

б) $$\ln(8x-22)=\ln(13-6x).$$

Область определения:

$$8x-22>0,\qquad 13-6x>0.$$

То есть

$$x>\frac{11}{4},\qquad x<\frac{13}{6}.$$

Эти условия несовместны, значит, корней нет.

в) $$\log_2(x^2-7)+\log_2(5-x^2)=3.$$

Область определения:

$$x^2-7>0,\qquad 5-x^2>0.$$

То есть

$$x^2>7,\qquad x^2<5.$$

Одновременно это невозможно, значит, корней нет.

г) $$\ln(-3x-5)=\ln(9-4x^2).$$

Область определения:

$$-3x-5>0,\qquad 9-4x^2>0.$$

То есть

$$x<-\frac{5}{3},\qquad -\frac{3}{2}<x<\frac{3}{2}.$$

Эти условия несовместны, значит, корней нет.

д) $$\sqrt{5x-11}=\sqrt{13-7x}.$$

Область определения:

$$5x-11\ge 0,\qquad 13-7x\ge 0.$$

То есть

$$x\ge \frac{11}{5},\qquad x\le \frac{13}{7}.$$

Так как $$\frac{11}{5}>\frac{13}{7},$$ общих значений нет, значит, корней нет.

е) $$\lg(x^2-5x)+\lg(7x-2x^2)=0{,}25.$$

Область определения:

$$x^2-5x>0,\qquad 7x-2x^2>0.$$

То есть

$$x(x-5)>0,\qquad x(7-2x)>0.$$

Отсюда

$$x<0 \ \text{или}\ x>5,$$

и одновременно

$$0<x<\frac{7}{2}.$$

Общих значений нет, значит, корней нет.

Ответ

а) $$0{,}2$$; б) $$0{,}8$$; в) $$2000$$; г) $$40$$; д) $$1960,\ 2040$$; е) $$0{,}6826$$. Во всех уравнениях корней нет.