Упр.27.2 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

26.2. Наудачу выбирают три коробки. Какова вероятность того, что:
а) все они пустые;
б) все они не пустые;
в) одна из них пустая, одна с призом и одна с сюрпризом;
г) две из них пустые, а одна с призом;
д) одна пустая и две с сюрпризом;
е) в них нет сюрприза? Является ли уравнение cos(x)=0 равносильным данному уравнению:
а) sin(x)=1; г) cos(x-?)=0;
б) cos(x)·v(1-x)=0; д) sin(?/2+x)·v(x-1)=0;
в) ctg(x)=0; е) ctg(x)·sin(2x)=0?

Подробный ответ

Пусть всего коробок $$10$$: $$5$$ пустых, $$3$$ с призом и $$2$$ с сюрпризом.

Все три коробки пустые:
$$P=\frac{5}{10}\cdot\frac{4}{9}\cdot\frac{3}{8}=\frac{1}{12}.$$
Все три коробки не пустые:
$$P=\frac{5}{10}\cdot\frac{4}{9}\cdot\frac{3}{8}=\frac{1}{12}.$$
Одна пустая, одна с призом и одна с сюрпризом:
$$P=\frac{5}{10}\cdot\frac{3}{9}\cdot\frac{2}{8}\cdot 3!=\frac{1}{24}\cdot 6=\frac{1}{4}.$$
Две коробки пустые, а одна с призом:
$$P=\frac{5}{10}\cdot\frac{4}{9}\cdot\frac{3}{8}\cdot 3=\frac{1}{12}\cdot 3=\frac{1}{4}.$$
Одна пустая и две с сюрпризом:
$$P=\frac{5}{10}\cdot\frac{2}{9}\cdot\frac{1}{8}\cdot 3=\frac{1}{72}\cdot 3=\frac{1}{24}.$$
В них нет сюрприза:
$$P=\frac{8}{10}\cdot\frac{7}{9}\cdot\frac{6}{8}=\frac{7}{15}.$$

Ответ

а) $$\frac{1}{12}$$; б) $$\frac{1}{12}$$; в) $$\frac{1}{4}$$; г) $$\frac{1}{4}$$; д) $$\frac{1}{24}$$; е) $$\frac{7}{15}$$.

Ход решения

Рассмотрим уравнение $$\cos x=0$$, его решения:

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

$$\sin x=1$$
$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$
Не равносильно, так как не все решения $$\cos x=0$$ входят в это множество.
$$\cos x\cdot \sqrt{1-x}=0$$
Отсюда $$\cos x=0$$ или $$1-x=0$$, то есть $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$ или $$x=1$$.
Не равносильно.
$$\ctg x=0$$
$$\ctg x=0 \iff \cos x=0,\ \sin x\ne 0,$$
то есть $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$
Равносильно.
$$\cos(x-\pi)=0$$
$$\cos(x-\pi)= -\cos x,$$
значит, уравнение равносильно $$\cos x=0.$$
Равносильно.
$$\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)\sqrt{x-1}=0$$
Так как $$\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos x,$$ получаем
$$\cos x\sqrt{x-1}=0.$$
Отсюда $$\cos x=0$$ или $$x=1$$, значит, не равносильно.
$$\ctg x\cdot \sin 2x=0$$
$$\ctg x\cdot \sin 2x=\frac{\cos x}{\sin x}\cdot 2\sin x\cos x=2\cos^2 x.$$
Следовательно, $$2\cos^2 x=0 \iff \cos x=0.$$
Равносильно.