Упр.27.19 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов, Александрова 11 класс, Просвещение: Клиент приобрёл за 30 000 р. акции предприятия, на котором он работает. Ежегодно стоимость акций возрастает на 4000 р. Клиент планирует через несколько лет продать акции и положить деньги в банк под 10 % годовых так, чтобы через 10 лет после приобретения акций получить максимальную прибыль. В конце какого года с момента приобретения акций клиенту целесообразно их продать и положить деньги в банк?

Подробный ответ

Пусть через $$x$$ лет после покупки акции будут проданы и деньги положены в банк. Тогда стоимость акций к этому моменту составит $$30000+4000x$$ рублей.

До конца десятилетнего срока эти деньги будут лежать в банке $$10-x$$ лет под $$10\%$$ годовых, значит, через 10 лет сумма станет равной

$$f(x)=(30000+4000x)\cdot 1{,}1^{\,10-x}.$$

Найдём, при каком $$x$$ эта функция максимальна:

$$ f'(x)=4000\cdot 1{,}1^{\,10-x}-(30000+4000x)\cdot 1{,}1^{\,10-x}\ln 1{,}1. $$

Вынесем общий множитель:

$$ f'(x)=1{,}1^{\,10-x}\bigl(4000-(30000+4000x)\ln 1{,}1\bigr). $$

Так как $$1{,}1^{\,10-x}>0$$, то для максимума достаточно решить неравенство

$$4000-(30000+4000x)\ln 1{,}1\ge 0.$$

Берём $$\ln 1{,}1\approx 0{,}095$$:

$$ 4000-0{,}095(30000+4000x)\ge 0, $$

$$ 4000-2850-380x\ge 0, $$

$$ 1150\ge 380x, $$