Упр.24.8 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) f(x)=4-x^2, g(x)=0; г) f(x)=-x^2+6x, g(x)=0;
б) f(x)=9-x^2, g(x)=4; д) f(x)=-x^2+4x, g(x)=3;
в) f(x)=2x^4, g(x)=2; е) f(x)=0,5x^4, g(x)=0,5. В прямоугольнике ABCD со сторонами AB=2, BC=5 наудачу выбирают точку. Найдите вероятность того, что она расположена:
а) на границе прямоугольника;
б) ближе к прямой АВ, чем к прямой CD;
в) ближе к прямой ВС, чем к прямой AD;
г) ближе к вершине А, чем к вершине С;
д) ближе к прямой АВ, чем к прямой ВС;
е) ближе к вершине А, чем к точке пересечения диагоналей.
а) $$4-x^2=0$$
$$x^2=4,\quad x=\pm 2.$$
Тогда
$$S=\int_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx=\left(4x-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{-2}^{2}.$$
$$S=\left(8-\frac{8}{3}\right)-\left(-8+\frac{8}{3}\right)=16-\frac{16}{3}=\frac{32}{3}.$$
б) $$9-x^2=4$$
$$x^2=5,\quad x=\pm\sqrt5.$$
Тогда
$$S=\int_{-\sqrt5}^{\sqrt5}(5-x^2)\,dx=\left(5x-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{-\sqrt5}^{\sqrt5}.$$
$$S=\frac{20\sqrt5}{3}.$$
в) $$2x^4=2$$
$$x^4=1,\quad x=\pm1.$$
Тогда
$$S=\int_{-1}^{1}(2-2x^4)\,dx=\left(2x-\frac{2x^5}{5}\right)\Bigg|_{-1}^{1}.$$
$$S=\left(2-\frac{2}{5}\right)-\left(-2+\frac{2}{5}\right)=\frac{16}{5}=3{,}2.$$
г) $$-x^2+6x=0$$
$$x(6-x)=0,\quad x=0 \text{ или } x=6.$$
Тогда
$$S=\int_{0}^{6}(6x-x^2)\,dx=\left(3x^2-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{0}^{6}.$$
$$S=108-72=36.$$
д) $$-x^2+4x=3$$
$$x^2-4x+3=0,$$
$$D=16-12=4,\quad x_1=1,\quad x_2=3.$$
Тогда
$$S=\int_{1}^{3}(-x^2+4x-3)\,dx=\left(2x^2-\frac{x^3}{3}-3x\right)\Bigg|_{1}^{3}.$$
$$S=\frac{4}{3}=1\frac{1}{3}.$$
е) $$0{,}5x^4=0{,}5$$
$$x^4=1,\quad x=\pm1.$$
Тогда
$$S=\int_{-1}^{1}(0{,}5-0{,}5x^4)\,dx=\left(0{,}5x-\frac{0{,}5x^5}{5}\right)\Bigg|_{-1}^{1}.$$
$$S=0{,}8.$$
В прямоугольнике $$ABCD$$: $$AB=2,\ BC=5,$$ значит площадь прямоугольника
$$S_{ABCD}=2\cdot 5=10.$$
а) На границе прямоугольника вероятность равна нулю, так как граница имеет нулевую площадь:
$$P=0.$$
б) Точки, расположенные ближе к прямой $$AB$$, чем к прямой $$CD$$, занимают половину прямоугольника:
$$P=\frac{1}{2}.$$
в) Аналогично, точки, расположенные ближе к прямой $$BC$$, чем к прямой $$AD$$, занимают половину прямоугольника:
$$P=\frac{1}{2}.$$
г) Множество точек, равноудалённых от вершин $$A$$ и $$C$$, — серединный перпендикуляр к диагонали $$AC$$, он делит прямоугольник на две равные части. Поэтому
$$P=\frac{1}{2}.$$
д) Точки, ближе к прямой $$AB$$, чем к прямой $$BC$$, образуют прямоугольник шириной $$\frac{AB}{2}=1$$ и высотой $$BC=5$$:
$$S=1\cdot 5=5,$$
поэтому
$$P=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}.$$
е) Точки, ближе к вершине $$A$$, чем к центру прямоугольника, образуют четверть прямоугольника, поэтому
$$P=\frac{1}{4}.$$
Ответ
а) $$\frac{32}{3}$$; б) $$\frac{20\sqrt5}{3}$$; в) $$3{,}2$$; г) $$36$$; д) $$\frac{4}{3}$$; е) $$0{,}8$$;
2) а) $$0$$; б) $$\frac{1}{2}$$; в) $$\frac{1}{2}$$; г) $$\frac{1}{2}$$; д) $$\frac{1}{2}$$; е) $$\frac{1}{4}$$.
