Упр.21.3 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) F(x)=2+cos(x), f(x)=-sin(x);
б) F(x)=0,5ctg(x), f(x)=-1/(2sin^2(x));
в) F(x)=sin(2x), f(x)=2cos(2x);
г) F(x)=1-sin(x), f(x)=-cos(x);
д) F(x)=3tg(x), f(x)=3/cos^2(x);
е) F(x)=3cos(x/3), f(x)=-sin(x/3). Найдите хотя бы одну первообразную для данной функции y=f(x):
а) f(x)=x^3-3x^2+2; г) f(x)=5x^9+4x;
б) f(x)=4x^3+5x^4; д) f(x)=-9x^2+6x^5-x;
в) f(x)=x^5-8x^7; е) f(x)=15x^4-15x^2+1.
- Проверим, что производная функции $F(x)$ совпадает с $f(x)$:
а) $$F(x)=2+\cos x$$
$$F'(x)=0-\sin x=-\sin x=f(x)$$б) $$F(x)=0{,}5\ctg x$$
$$F'(x)=0{,}5\left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right)=-\frac{1}{2\sin^2 x}=f(x)$$в) $$F(x)=\sin 2x$$
$$F'(x)=2\cos 2x=f(x)$$г) $$F(x)=1-\sin x$$
$$F'(x)=-\cos x=f(x)$$д) $$F(x)=3\tg x$$
$$F'(x)=3\cdot \frac{1}{\cos^2 x}=\frac{3}{\cos^2 x}=f(x)$$е) $$F(x)=3\cos \frac{x}{3}$$
$$F'(x)=3\left(-\frac{1}{3}\sin \frac{x}{3}\right)=-\sin \frac{x}{3}=f(x)$$ - Найдём хотя бы одну первообразную для каждой функции:
а) $$f(x)=x^3-3x^2+2$$
$$F(x)=\frac{x^4}{4}-x^3+2x+C$$б) $$f(x)=4x^3+5x^4$$
$$F(x)=x^4+x^5+C$$в) $$f(x)=x^5-8x^7$$
$$F(x)=\frac{x^6}{6}-x^8+C$$г) $$f(x)=5x^9+4x$$
$$F(x)=\frac{x^{10}}{2}+2x^2+C$$д) $$f(x)=-9x^2+6x^5-x$$
$$F(x)=-3x^3+x^6-\frac{x^2}{2}+C$$е) $$f(x)=15x^4-15x^2+1$$
$$F(x)=3x^5-5x^3+x+C$$
Ответ
Первообразные: а) $$\frac{x^4}{4}-x^3+2x+C$$; б) $$x^4+x^5+C$$; в) $$\frac{x^6}{6}-x^8+C$$; г) $$\frac{x^{10}}{2}+2x^2+C$$; д) $$-3x^3+x^6-\frac{x^2}{2}+C$$; е) $$3x^5-5x^3+x+C$$.
