Упр.21.19 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) (5^(sin 2x) — 5^(v3 cos x)) / v(cos x) = 0;
б) (4^(cos 2x) — 4^(sin x + 1)) / lg(cos x) = 0;
в) (2log(0,5; sin x)^2 — log(0,5; sin x) — 1) / (2cos x — v3) = 0;
г) (3^(sin 2x) — 3^(v3 sin x)) / v(sin x) = 0;
д) (0,5^(cos 2x) — 0,5^(cos x — 1)) / ln(sin x) = 0;
е) (2log(0,5; cos x)^2 + log(0,5; cos x) — 1) / (2sin x — v2) = 0. Найдите неопределённый интеграл.
а) ?x^3(1-x^2)dx; г) ?x^2(x+3)dx;
б) ?2sin(x)cos(x)dx; д) ?(cos^2(2x)-sin^2(2x))dx;
в) ?(x^2-4x-5)/(x+1)dx; е) ?(x-2)/(x^2-5x+6)dx.

1. а) $$\frac{5^{\sin 2x}-5^{\sqrt3\cos x}}{\sqrt{\cos x}}=0$$

   Чтобы дробь была равна нулю, числитель должен быть равен нулю, а знаменатель — отличен от нуля:

   $$5^{\sin 2x}-5^{\sqrt3\cos x}=0,$$

   $$\sin 2x=\sqrt3\cos x,$$

   $$2\sin x\cos x=\sqrt3\cos x,$$

   $$\cos x(2\sin x-\sqrt3)=0.$$

   Так как $$\sqrt{\cos x}$$ стоит в знаменателе, то $$\cos x>0$$, значит $$\cos x\neq 0$$. Тогда

   $$2\sin x-\sqrt3=0,$$

   $$\sin x=\frac{\sqrt3}{2}.$$

   С учётом $$\cos x>0$$ получаем

   $$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. б) $$\frac{4^{\cos 2x}-4^{\sin x+1}}{\lg(\cos x)}=0$$

   Область определения: $$\cos x>0$$ и $$\lg(\cos x)\neq 0,$$ то есть $$\cos x\neq 1.$$

   Решаем числитель:

   $$4^{\cos 2x}-4^{\sin x+1}=0,$$

   $$\cos 2x=\sin x+1,$$

   $$1-2\sin^2 x=\sin x+1,$$

   $$2\sin^2 x+\sin x=0,$$

   $$\sin x(2\sin x+1)=0.$$

   Из условия $$\cos x>0$$ и $$\cos x\neq 1$$ подходит только

   $$\sin x=-\frac12.$$

   Тогда

   $$x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. в) $$\frac{2\log_{0,5}^2(\sin x)-\log_{0,5}(\sin x)-1}{2\cos x-\sqrt3}=0$$

   Область определения: $$\sin x>0,$$ $$2\cos x-\sqrt3\neq 0.$$

   Положим $$y=\log_{0,5}(\sin x)$$. Тогда

   $$2y^2-y-1=0,$$

   $$D=1+8=9,$$

   $$y_1=-\frac12,\quad y_2=1.$$

   1) $$\log_{0,5}(\sin x)=-\frac12 \Rightarrow \sin x=(0,5)^{-1/2}=\sqrt2,$$ что невозможно.

   2) $$\log_{0,5}(\sin x)=1 \Rightarrow \sin x=\frac12.$$

   С учётом $$\sin x>0$$ и $$2\cos x-\sqrt3\neq 0$$ получаем

   $$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. г) $$\frac{3^{\sin 2x}-3^{\sqrt3\sin x}}{\sqrt{\sin x}}=0$$

   Область определения: $$\sin x>0.$$

   Решаем числитель:

   $$3^{\sin 2x}-3^{\sqrt3\sin x}=0,$$

   $$\sin 2x=\sqrt3\sin x,$$

   $$2\sin x\cos x=\sqrt3\sin x,$$

   $$\sin x(2\cos x-\sqrt3)=0.$$

   Так как $$\sin x>0,$$ то $$\sin x\neq 0$$, значит

   $$2\cos x-\sqrt3=0,$$

   $$\cos x=\frac{\sqrt3}{2}.$$

   С учётом $$\sin x>0$$ получаем

   $$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

5. д) $$\frac{0,5^{\cos 2x}-0,5^{\cos x-1}}{\ln(\sin x)}=0$$

   Область определения: $$\sin x>0$$ и $$\ln(\sin x)\neq 0,$$ то есть $$\sin x\neq 1.$$

   Решаем числитель:

   $$0,5^{\cos 2x}-0,5^{\cos x-1}=0,$$

   $$\cos 2x=\cos x-1,$$

   $$2\cos^2 x-1=\cos x-1,$$

   $$2\cos^2 x-\cos x=0,$$

   $$\cos x(2\cos x-1)=0.$$

   Из условия $$\sin x>0$$ и $$\sin x\neq 1$$ подходит только

   $$\cos x=\frac12.$$

   Тогда

   $$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

6. е) $$\frac{2\log_{0,5}^2(\cos x)+\log_{0,5}(\cos x)-1}{2\sin x-\sqrt2}=0$$

   Область определения: $$\cos x>0,$$ $$2\sin x-\sqrt2\neq 0.$$

   Положим $$y=\log_{0,5}(\cos x)$$. Тогда

   $$2y^2+y-1=0,$$

   $$D=1+8=9,$$

   $$y_1=-1,\quad y_2=\frac12.$$

   1) $$\log_{0,5}(\cos x)=-1 \Rightarrow \cos x=(0,5)^{-1}=2,$$ что невозможно.

   2) $$\log_{0,5}(\cos x)=\frac12 \Rightarrow \cos x=(0,5)^{1/2}=\frac{\sqrt2}{2}.$$

   С учётом $$\cos x>0$$ и $$2\sin x-\sqrt2\neq 0$$ получаем

   $$x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

7. а) $$\int x^3(1-x^2)\,dx=\int (x^3-x^5)\,dx=\frac{x^4}{4}-\frac{x^6}{6}+C.$$

8. б) $$\int 2\sin x\cos x\,dx=\int \sin 2x\,dx=-\frac12\cos 2x+C.$$

9. в) $$\int \frac{x^2-4x-5}{x+1}\,dx.$$

   Разложим числитель:

   $$x^2-4x-5=(x+1)(x-5),$$

   тогда

   $$\int \frac{x^2-4x-5}{x+1}\,dx=\int (x-5)\,dx=\frac{x^2}{2}-5x+C.$$

10. г) $$\int x^2(x+3)\,dx=\int (x^3+3x^2)\,dx=\frac{x^4}{4}+x^3+C.$$

11. д) $$\int (\cos^2 2x-\sin^2 2x)\,dx=\int \cos 4x\,dx=\frac14\sin 4x+C.$$

12. е) $$\int \frac{x-2}{x^2-5x+6}\,dx.$$

    Разложим знаменатель:

    $$x^2-5x+6=(x-2)(x-3).$$

    Тогда

    $$\frac{x-2}{x^2-5x+6}=\frac{1}{x-3},$$

    и

    $$\int \frac{x-2}{x^2-5x+6}\,dx=\int \frac{1}{x-3}\,dx=\ln|x-3|+C.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n$$; б) $$x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n$$; в) $$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n$$; г) $$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n$$; д) $$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n$$; е) $$x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n$$, $$n\in\mathbb Z$$.

Интегралы: а) $$\frac{x^4}{4}-\frac{x^6}{6}+C$$; б) $$-\frac12\cos 2x+C$$; в) $$\frac{x^2}{2}-5x+C$$; г) $$\frac{x^4}{4}+x^3+C$$; д) $$\frac14\sin 4x+C$$; е) $$\ln|x-3|+C$$.