Упр.20.3 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

б) Число 6 представьте в виде суммы двух слагаемых так, чтобы сумма частного от деления первого слагаемого на второе и частного от деления второго слагаемого на первое была наименьшей. Установите, что функция y=F(x) является первообразной для функции y=f(x):
а) F(x)=2+cos(x), f(x)=-sin(x);
б) F(x)=0,5ctg(x), f(x)=-1/(2sin^2(x));
в) F(x)=sin(2x), f(x)=2cos(2x);
г) F(x)=1-sin(x), f(x)=-cos(x);
д) F(x)=3tg(x), f(x)=3/cos^2(x);
е) F(x)=3cos(x/3), f(x)=-sin(x/3).

Подробный ответ

Пусть числа равны $$x$$ и $$y$$.
а) По условию $$x+y=18$$, значит $$y=18-x$$.
Тогда искомая сумма равна
$$S(x)=2x+y^2=2x+(18-x)^2.$$
Найдём производную:
$$S'(x)=2-2(18-x)=2-36+2x=2x-34.$$
Приравниваем к нулю:
$$2x-34=0,\quad x=17.$$
Тогда
$$y=18-17=1.$$
Минимум достигается при разложении $$18=17+1$$.
б) По условию $$x+y=6$$, значит $$y=6-x$$.
Тогда
$$S(x)=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{x}{6-x}+\frac{6-x}{x}.$$
Найдём производную:
$$S'(x)=\frac{6}{(6-x)^2}-\frac{6}{x^2}.$$
Приравниваем к нулю:
$$\frac{6}{(6-x)^2}-\frac{6}{x^2}=0,$$
$$\frac{1}{(6-x)^2}=\frac{1}{x^2},$$
$$x^2=(6-x)^2.$$
Так как $$x$$ и $$y$$ — положительные числа, получаем
$$x=6-x,\quad x=3.$$
Тогда
$$y=6-3=3.$$
Минимум достигается при разложении $$6=3+3$$.
Проверим, что $$F(x)$$ — первообразная для $$f(x)$$, то есть найдём производную $$F'(x)$$.
а) $$F(x)=2+\cos x$$, тогда $$F'(x)=-\sin x=f(x).$$
б) $$F(x)=0{,}5\ctg x$$, тогда
$$F'(x)=0{,}5\left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right)=-\frac{1}{2\sin^2 x}=f(x).$$
в) $$F(x)=\sin 2x$$, тогда
$$F'(x)=2\cos 2x=f(x).$$
г) $$F(x)=1-\sin x$$, тогда
$$F'(x)=-\cos x=f(x).$$
д) $$F(x)=3\tg x$$, тогда
$$F'(x)=3\cdot \frac{1}{\cos^2 x}=\frac{3}{\cos^2 x}=f(x).$$
е) $$F(x)=3\cos \frac{x}{3}$$, тогда
$$F'(x)=3\left(-\frac{1}{3}\sin \frac{x}{3}\right)=-\sin \frac{x}{3}=f(x).$$