Упр.19.13 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) y = e^x + e^(-x), [-ln(4); ln(2)]; б) y = x — 5ln(x + 1), [0; 8];
в) y = (3 — x) e^(x — 3) + 8, [2; 3]; г) y = (3 — x) ln(x — 3), [3 + e^(-2); 3 + e^3]. Апофема правильной четырёхугольной пирамиды равна 8 см. При какой высоте пирамиды её объём будет наибольшим?

Подробный ответ

а) $$y=e^x+e^{-x}, \quad x\in[-\ln 4;\,\ln 2].$$
Найдём производную:
$$y'(x)=e^x-e^{-x}.$$
$$y'(x)=0 \iff e^x=e^{-x} \iff e^{2x}=1 \iff x=0.$$
Сравним значения функции в концах отрезка и в критической точке:
$$y(-\ln 4)=\frac14+4=\frac{17}{4},$$
$$y(0)=1+1=2,$$
$$y(\ln 2)=2+\frac12=\frac52.$$
Наименьшее значение: $$2,$$ наибольшее значение: $$\frac{17}{4}.$$
б) $$y=x-5\ln(x+1), \quad x\in[0;8].$$
$$y'(x)=1-\frac{5}{x+1}=\frac{x-4}{x+1}.$$
На отрезке $$[0;8]$$ критическая точка: $$x=4.$$
Вычислим значения функции:
$$y(0)=0-5\ln 1=0,$$
$$y(4)=4-5\ln 5,$$
$$y(8)=8-5\ln 9.$$
Сравнивая значения, получаем: наибольшее значение равно $$0,$$ наименьшее — $$4-5\ln 5.$$
в) $$y=(3-x)e^{x-3}+8, \quad x\in[2;3].$$
$$y'(x)=-e^{x-3}+(3-x)e^{x-3}=e^{x-3}(2-x).$$
Так как $$e^{x-3}>0,$$ то знак производной определяется множителем $$2-x.$$ На отрезке $$[2;3]$$ имеем $$y'(x)\le 0,$$ значит функция убывает.
Тогда:
$$y(2)=1\cdot e^{-1}+8=\frac{1}{e}+8,$$
$$y(3)=0\cdot e^0+8=8.$$
Наибольшее значение: $$\frac{1}{e}+8,$$ наименьшее значение: $$8.$$
г) $$y=(3-x)\ln(x-3), \quad x\in[3+e^{-2};\,3+e^3].$$
$$y'(x)=-\ln(x-3)+\frac{3-x}{x-3}=-\ln(x-3)-1.$$
$$y'(x)=0 \iff -\ln(x-3)-1=0 \iff \ln(x-3)=-1 \iff x=3+e^{-1}.$$
Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:
$$y(3+e^{-2})=-e^{-2}\ln(e^{-2})=-e^{-2}\cdot(-2)=\frac{2}{e^2},$$
$$y(3+e^{-1})=-e^{-1}\ln(e^{-1})=-e^{-1}\cdot(-1)=\frac{1}{e},$$
$$y(3+e^3)=-e^3\ln(e^3)=-3e^3.$$
Следовательно, наибольшее значение равно $$\frac{1}{e},$$ наименьшее — $$-3e^3.$$
Пирамида. Пусть $$x$$ — длина стороны основания, $$y$$ — высота пирамиды. Тогда по условию апофемы:
$$y=\sqrt{8^2-\left(\frac{x}{2}\right)^2}=\sqrt{64-\frac{x^2}{4}}.$$
Объём пирамиды:
$$V(x)=\frac13 x^2y=\frac13 x^2\sqrt{64-\frac{x^2}{4}}.$$
Найдём максимум функции на области $$0<x<16.$$
Удобно рассмотреть производную:
$$V'(x)=\frac{2x}{3}\sqrt{64-\frac{x^2}{4}}-\frac{x^3}{12\sqrt{64-\frac{x^2}{4}}}.$$
$$V'(x)=0 \iff 8x\left(64-\frac{x^2}{4}\right)-x^3=0 \iff 512x-3x^3=0.$$
Отсюда
$$x^2=\frac{512}{3}, \quad x=\frac{16\sqrt6}{3}.$$
Тогда высота пирамиды:
$$y=\sqrt{64-\frac{1}{4}\cdot\frac{512}{3}}=\sqrt{64-\frac{128}{3}}=\sqrt{\frac{64}{3}}=\frac{8\sqrt3}{3}.$$
При этой высоте объём пирамиды наибольший.