Упр.16.29 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) x^5+x^3+7x-51=(37-5x)^(1/3);
б) 102-2x^5-4x^3-2x=(6+5x)^(1/4).

Подробный ответ

а) Рассмотрим функции

$$f(x)=x^5+x^3+7x-51,$$

$$g(x)=\sqrt[3]{37-5x}.$$

Функция $$f(x)$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, так как сумма возрастающих функций тоже возрастает. Функция $$g(x)$$ убывает на $$\mathbb{R}$$, поскольку при увеличении $$x$$ выражение $$37-5x$$ уменьшается, а кубический корень сохраняет монотонность.

Значит, уравнение имеет не более одного решения. Проверим $$x=2$$:

$$f(2)=2^5+2^3+7\cdot 2-51=32+8+14-51=3,$$

$$g(2)=\sqrt[3]{37-5\cdot 2}=\sqrt[3]{27}=3.$$

Следовательно, $$x=2$$ — решение уравнения, и оно единственное.

б) Рассмотрим функции

$$f(x)=102-2x^5-4x^3-2x,$$

$$g(x)=\sqrt[4]{6+5x}.$$

Функция $$f(x)$$ убывает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$g(x)$$ возрастает на своей области определения $$6+5x\ge 0$$.

Значит, уравнение имеет не более одного решения. Проверим $$x=2$$:

$$f(2)=102-2\cdot 2^5-4\cdot 2^3-2\cdot 2=102-64-32-4=2,$$

$$g(2)=\sqrt[4]{6+5\cdot 2}=\sqrt[4]{16}=2.$$

Следовательно, $$x=2$$ — единственное решение.