Упр.14.26 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) (2^x-8)/(x^2-10x+25)?0; в) (25-0,2^x)/(x^2+6x+9)?0;
б) 6/(7^x+48)>6/7^(x+2); г) (8^x+44)/8^x<23. Андрей сделал в банке вклад на сумму 250 000 р. при условии, что в конце года сумма вклада увеличивается на р % и никакие другие операции с вкладом не производятся. Через год в этом же банке и на таких же условиях сделал точно такой же вклад его приятель Алексей. Ровно через год после этого они оба закрыли свои вклады. При этом выяснилось, что Андрей получил на 33 600 р. больше, чем Алексей. Какой процент годовых начислял этот банк?

Подробный ответ

$$\frac{2^x-8}{x^2-10x+25}\ge 0$$

$$\frac{2^x-8}{(x-5)^2}\ge 0.$$

Область определения: $$x\ne 5.$$

Так как $$ (x-5)^2>0 $$ при $$x\ne 5,$$ знак дроби определяется числителем:

$$2^x-8\ge 0,$$
$$2^x\ge 2^3,$$
$$x\ge 3.$$

С учётом ОДЗ:

$$x\in [3;5)\cup(5;+\infty).$$
$$\frac{6}{7^x+48}>\frac{6}{7^{x+2}}$$

Так как все знаменатели положительны, можно сравнить знаменатели:

$$7^x+48<7^{x+2}=49\cdot 7^x.$$
$$48<48\cdot 7^x,$$ $$1<7^x.$$
Тогда

$$x>0.$$
$$\frac{25-0{,}2^x}{x^2+6x+9}\le 0$$

$$\frac{25-0{,}2^x}{(x+3)^2}\le 0.$$

Область определения: $$x\ne -3.$$

При $$x\ne -3$$ знаменатель положителен, значит

$$25-0{,}2^x\le 0,$$
$$0{,}2^x\ge 25.$$

Так как $$0{,}2=\frac15,$$ получаем

$$\left(\frac15\right)^x\ge 5^2,$$
$$5^{-x}\ge 5^2,$$
$$-x\ge 2,$$
$$x\le -2.$$

С учётом ОДЗ:

$$x\in(-\infty;-3)\cup(-3;-2].$$
$$\frac{8^x+44}{8^x}<23$$
Так как $$8^x>0,$$ умножим обе части на $$8^x$$:

$$8^x+44<23\cdot 8^x,$$ $$44<22\cdot 8^x,$$ $$2<8^x.$$
Тогда

$$x>\frac13.$$
Пусть через год после вклада Андрея сумма стала

$$S_1=250000\cdot \frac{100+p}{100}.$$

Через два года:

$$S_2=250000\cdot \left(\frac{100+p}{100}\right)^2.$$

По условию

$$S_2-S_1=33600.$$

Тогда

$$250000\cdot \frac{100+p}{100}\left(\frac{100+p}{100}-1\right)=33600,$$
$$250000\cdot \frac{100+p}{100}\cdot \frac{p}{100}=33600,$$
$$p(100+p)=1344,$$
$$p^2+100p-1344=0.$$

$$D=100^2+4\cdot 1344=15376,$$
$$\sqrt D=124.$$

$$p=\frac{-100\pm 124}{2}.$$

Получаем

$$p_1=-112,\quad p_2=12.$$

Так как процент годовых не может быть отрицательным в этой задаче, берём

$$p=12.$$