Упр.12.12 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) f(x)=(1/2)sin(4x)+sin(2x)-(2/3)sin(3x);
б) f(x)=(2x-5)^3+(2x-5)^2+x;
в) f(x)=x^2v(3-2x);
г) f(x)=0,2cos(5x)-(1/3)cos(3x)+(1/4)sin(4x);
д) f(x)=(1-3x)^3-(1-3x)^2+3x;
е) f(x)=x^2/v(4x-1).
а)
$$f(x)=\frac12\sin 4x+\sin 2x-\frac23\sin 3x$$
Найдём производную:
$$f'(x)=2\cos 4x+2\cos 2x-2\cos 3x=0.$$Используем формулу $$\cos 4x+\cos 2x=2\cos 3x\cos x$$:
$$2\cos 3x\cos x-\cos 3x=0,$$
$$\cos 3x(2\cos x-1)=0.$$Тогда
$$\cos 3x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=\frac12.$$Отсюда
$$3x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},$$
$$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$б)
$$f(x)=(2x-5)^3+(2x-5)^2+x$$
Производная:
$$f'(x)=2\cdot 3(2x-5)^2+2\cdot 2(2x-5)+1=0.$$Получаем квадратное уравнение:
$$24x^2-112x+131=0.$$Дискриминант:
$$D=(-112)^2-4\cdot 24\cdot 131=12544-12576=-32<0.$$Действительных корней нет.
в)
$$f(x)=x^2\sqrt{3-2x}$$
Область определения:
$$3-2x\ge 0 \Rightarrow x\le \frac32.$$Производная:
$$f'(x)=2x\sqrt{3-2x}-\frac{2x^2}{\sqrt{3-2x}}=0.$$Умножим на $$\sqrt{3-2x}$$:
$$2x(3-2x)-x^2=0,$$
$$x(6-5x)=0.$$Тогда
$$x=0 \quad \text{или} \quad x=\frac65.$$г)
$$f(x)=0{,}2\cos 5x-\frac13\cos 3x+\frac14\sin 4x$$
Производная:
$$f'(x)=-\sin 5x+\sin 3x+\cos 4x=0.$$Используем формулу $$\sin 3x-\sin 5x=-2\cos 4x\sin x$$:
$$\cos 4x-2\cos 4x\sin x=0,$$
$$\cos 4x(1-2\sin x)=0.$$Тогда
$$\cos 4x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=\frac12.$$Отсюда
$$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},$$
$$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$д)
$$f(x)=(1-3x)^3-(1-3x)^2+3x$$
Производная:
$$f'(x)=-9(1-3x)^2+6(1-3x)+3=0.$$После раскрытия скобок:
$$81x^2-36x=0,$$
$$9x(9x-4)=0.$$Тогда
$$x=0 \quad \text{или} \quad x=\frac49.$$е)
$$f(x)=\frac{x^2}{\sqrt{4x-1}}$$
Область определения:
$$4x-1>0 \Rightarrow x>\frac14.$$Производная:
$$f'(x)=\frac{2x\sqrt{4x-1}-\frac{4x^2}{\sqrt{4x-1}}}{4x-1}=0.$$Умножим на $$\sqrt{4x-1}$$:
$$2x(4x-1)-2x^2=0,$$
$$2x(3x-1)=0.$$С учётом области определения подходит только
$$x=\frac13.$$
Ответ
а) $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\ \pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
б) корней нет;
в) $$x=0,\ \frac65$$;
г) $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\ (-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
д) $$x=0,\ \frac49$$;
е) $$x=\frac13$$.
