Упр.11.17 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

б) Докажите, что (tg(x)+1/cos(x))’=1/(1+sin(x)).

а) Найдём производную:

$$ (\tg x-\ctg x)’=(\tg x)’- (\ctg x)’=\frac{1}{\cos^2 x}+\frac{1}{\sin^2 x}. $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ \frac{1}{\cos^2 x}+\frac{1}{\sin^2 x} =\frac{\sin^2 x+\cos^2 x}{\sin^2 x\cos^2 x} =\frac{1}{\sin^2 x\cos^2 x}. $$

Так как

$$ \sin 2x=2\sin x\cos x, $$

то

$$ \sin^2 2x=4\sin^2 x\cos^2 x, $$

следовательно,

$$ \frac{1}{\sin^2 x\cos^2 x}=\frac{4}{\sin^2 2x}. $$

Значит,

$$ (\tg x-\ctg x)’=\frac{4}{\sin^2 2x}. $$

б) Найдём производную:

$$ \left(\tg x+\frac{1}{\cos x}\right)’=(\tg x)’+\left(\frac{1}{\cos x}\right)’ =\frac{1}{\cos^2 x}+\frac{\sin x}{\cos^2 x}. $$

Вынесем общий множитель:

$$ \frac{1}{\cos^2 x}+\frac{\sin x}{\cos^2 x} =\frac{1+\sin x}{\cos^2 x}. $$

Так как

$$ \cos^2 x=1-\sin^2 x=(1-\sin x)(1+\sin x), $$

то

$$ \frac{1+\sin x}{\cos^2 x} =\frac{1+\sin x}{(1-\sin x)(1+\sin x)} =\frac{1}{1-\sin x}. $$

Следовательно,

$$ \left(\tg x+\frac{1}{\cos x}\right)’=\frac{1}{1-\sin x}. $$

Полученное равенство не совпадает с записанным в условии справа, значит, в условии, вероятно, допущена опечатка.

Ответ

а) $$\left(\tg x-\ctg x\right)’=\frac{4}{\sin^2 2x}$$;
б) $$\left(\tg x+\frac{1}{\cos x}\right)’=\frac{1}{1-\sin x}$$.