Упр.1.7 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) y_n=8-4(6-n); г) y_n=4-3(n-2);
б) y_n=-n/(n+3); д) y_n=(n-3)/n;
в) a_n=8·0,8^(n+1); е) x_n=lg(n+2)? Является ли последовательность ограниченной сверху:
а) y_n=3+2(n+2); г) y_n=12(2-n)+11;
б) x_n=2·0,4^(n+1); д) x_n=5·0,3^n;
в) a_n=n(n-7); е) a_n=n(10-n)?

Подробный ответ

Проверим, является ли последовательность возрастающей.
а) $$y_n=8-4(6-n)=8-24+4n=4n-16.$$
Это линейная функция с положительным коэффициентом при $$n$$, значит последовательность возрастающая.
Ответ: да.
б) $$y_n=-\frac{n}{n+3}=-\frac{n+3-3}{n+3}=-1+\frac{3}{n+3}.$$
При увеличении $$n$$ дробь $$\frac{3}{n+3}$$ убывает, значит $$y_n$$ убывает.
Ответ: нет.
в) $$a_n=8\cdot 0{,}8^{\,n+1}.$$
Так как $$0<0{,}8<1$$, то при увеличении $$n$$ значения степени уменьшаются, следовательно, последовательность убывает.
Ответ: нет.
г) $$y_n=4-3(n-2)=4-3n+6=10-3n.$$
Коэффициент при $$n$$ отрицательный, значит последовательность убывает.
Ответ: нет.
д) $$y_n=\frac{n-3}{n}=1-\frac{3}{n}.$$
При увеличении $$n$$ дробь $$\frac{3}{n}$$ уменьшается, значит $$y_n$$ возрастает.
Ответ: да.
е) $$x_n=\lg(n+2).$$
Так как логарифмическая функция возрастает, а $$n+2$$ с ростом $$n$$ увеличивается, то последовательность возрастающая.
Ответ: да.
Проверим, ограничена ли последовательность сверху.
а) $$y_n=3+2(n+2)=2n+7.$$
При росте $$n$$ значения неограниченно увеличиваются, значит сверху не ограничена.
Ответ: нет.
б) $$x_n=2\cdot 0{,}4^{\,n+1}.$$
Так как $$0<0{,}4<1$$, то $$0{,}4^{\,n+1}\le 0{,}4^2$$ при $$n\ge 1$$, следовательно, последовательность ограничена сверху.
Ответ: да.
в) $$a_n=n(n-7)=n^2-7n.$$
Это квадратичная функция, которая при больших $$n$$ неограниченно возрастает, значит сверху не ограничена.
Ответ: нет.
г) $$y_n=12(2-n)+11=24-12n+11=35-12n.$$
При $$n\ge 1$$ наибольшее значение достигается при наименьшем $$n$$, значит последовательность ограничена сверху.
Ответ: да.
д) $$x_n=5\cdot 0{,}3^n.$$
Все члены последовательности положительны и не превосходят первого члена, значит сверху ограничена.
Ответ: да.
е) $$a_n=n(10-n)=10n-n^2.$$
Это парабола, ветви которой направлены вниз, поэтому последовательность ограничена сверху.
Ответ: да.