Упр.8.15 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) f(x)=e^x, если эта касательная параллельна прямой y=ex-6;
2) f(x)=e^(5x+2), если эта касательная параллельна прямой y=5x+7;
3) f(x)=e^(-2x), если эта касательная параллельна прямой y=-x;
4) f(x)=ln (3x-2), если эта касательная параллельна прямой y=3x-2.

1. Для касательной к графику $$f(x)=e^x$$, параллельной прямой $$y=ex-6$$, угловой коэффициент равен $$e$$.
   Тогда
   $$f'(x)=e^x=e,$$
   откуда $$x=1$$.
   Найдём точку касания:
   $$f(1)=e.$$
   Уравнение касательной:
   $$y-e=e(x-1),$$
   значит
   $$y=ex.$$
2. Для функции $$f(x)=e^{5x+2}$$ касательная параллельна прямой $$y=5x+7$$, значит её угловой коэффициент равен $$5$$.
   Производная:
   $$f'(x)=5e^{5x+2}.$$
   Приравниваем:
   $$5e^{5x+2}=5,$$
   $$e^{5x+2}=1,$$
   $$5x+2=0,$$
   $$x=-\frac{2}{5}.$$
   Тогда
   $$f\!\left(-\frac{2}{5}\right)=e^0=1.$$
   Уравнение касательной:
   $$y-1=5\left(x+\frac{2}{5}\right),$$
   откуда
   $$y=5x+3.$$
3. Для функции $$f(x)=e^{-2x}$$ касательная параллельна прямой $$y=-x$$, значит её угловой коэффициент равен $$-1$$.
   Производная:
   $$f'(x)=-2e^{-2x}.$$
   Приравниваем:
   $$-2e^{-2x}=-1,$$
   $$e^{-2x}=\frac12,$$
   $$-2x=\ln\frac12=-\ln 2,$$
   $$x=\frac12\ln 2.$$
   Тогда
   $$f\!\left(\frac12\ln 2\right)=\frac12.$$
   Уравнение касательной:
   $$y-\frac12=-1\left(x-\frac12\ln 2\right),$$
   значит
   $$y=\frac12-x+\frac12\ln 2.$$
4. Для функции $$f(x)=\ln(3x-2)$$ касательная параллельна прямой $$y=3x-2$$, значит её угловой коэффициент равен $$3$$.
   Производная:
   $$f'(x)=\frac{3}{3x-2}.$$
   Приравниваем:
   $$\frac{3}{3x-2}=3,$$
   $$3x-2=1,$$
   $$x=1.$$
   Тогда
   $$f(1)=\ln 1=0.$$
   Уравнение касательной:
   $$y-0=3(x-1),$$
   откуда
   $$y=3x-3.$$

Ответ

1) $$y=ex$$; 2) $$y=5x+3$$; 3) $$y=\frac12-x+\frac12\ln 2$$; 4) $$y=3x-3$$.