Упр.3.2 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) (1/2)^x > 1/4; 4) 0,4^(6x+1)?0,4^(2x+5); 7) 0,3^(4x-8) > 1;
2) 5^x < 1/5; 5) 2^(x^2-1) < 8; 8) 0,1^(3x-1) < 1000; 3) 11^(x-5) < 11^(3x+1); 6) 27^(2x+1) > (1/9)^(x+2); 9) (1/36)^(2-x) < 216^(x+1).

1. $$\left(\frac12\right)^x>\frac14=\left(\frac12\right)^2$$
   Так как $$0<\frac12<1,$$ то показатель должен быть меньше:
   $$x<2.$$
2. $$5^x<\frac15=5^{-1}$$
   При основании $$5>1$$ сравниваем показатели:
   $$x<-1.$$
3. $$11^{x-5}<11^{3x+1}$$
   Так как $$11>1,$$ то
   $$x-5<3x+1,$$
   $$-6<2x,$$
   $$x>-3.$$
4. $$0{,}4^{6x+1}\ge 0{,}4^{2x+5}$$
   Поскольку $$0<0{,}4<1,$$ знак неравенства при сравнении показателей меняется:
   $$6x+1\le 2x+5,$$
   $$4x\le 4,$$
   $$x\le 1.$$
5. $$2^{x^2-1}<8=2^3$$
   Так как $$2>1,$$ получаем:
   $$x^2-1<3,$$
   $$x^2<4,$$
   $$-2<x<2.$$
6. $$27^{2x+1}>\left(\frac19\right)^{x+2}$$
   Приведём к основанию $$3$$:
   $$3^{3(2x+1)} > 3^{-2(x+2)}$$
   Тогда
   $$6x+3>-2x-4,$$
   $$8x>-7,$$
   $$x>-\frac78.$$
7. $$0{,}3^{4x-8}>1=0{,}3^0$$
   Так как $$0<0{,}3<1,$$ то
   $$4x-8<0,$$
   $$x<2.$$
8. $$0{,}1^{3x-1}<1000=10^3$$
   Перепишем:
   $$10^{-(3x-1)}<10^3$$ Тогда $$1-3x<3,$$ $$-3x<2,$$ $$x>-\frac23.$$
9. $$\left(\frac1{36}\right)^{2-x}<216^{x+1}$$
   Представим числа как степени тройки:
   $$36=6^2,\qquad 216=6^3,$$
   тогда
   $$6^{-2(2-x)}<6^{3(x+1)}$$ $$2x-4<3x+3,$$ $$x>-7.$$

Ответ

1) $$(-\infty;2)$$; 2) $$(-\infty;-1)$$; 3) $$(-3;+\infty)$$; 4) $$(-\infty;1]$$; 5) $$(-2;2)$$; 6) $$\left(-\frac78;+\infty\right)$$; 7) $$(-\infty;2)$$; 8) $$\left(-\frac23;+\infty\right)$$; 9) $$(-7;+\infty)$$.