Упр.28.311 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.311. Дано: sin(a)+cos(a)=b. Найдите 1/sin^4(a)+1/cos^4(a).

Подробный ответ

Используем тождество:

$$ \frac{1}{\sin^4 a}+\frac{1}{\cos^4 a} =\frac{\cos^4 a+\sin^4 a}{\sin^4 a\cos^4 a}. $$

Числитель преобразуем так:

$$ \cos^4 a+\sin^4 a=(\sin^2 a+\cos^2 a)^2-2\sin^2 a\cos^2 a =1-2\sin^2 a\cos^2 a. $$

Знаменатель:

$$ \sin^4 a\cos^4 a=(\sin a\cos a)^4. $$

Так как $$\sin a+\cos a=b,$$ то

$$ (\sin a+\cos a)^2=\sin^2 a+2\sin a\cos a+\cos^2 a=b^2, $$
$$ 1+2\sin a\cos a=b^2, $$
$$ \sin a\cos a=\frac{b^2-1}{2}. $$

Тогда

$$ 1-2\sin^2 a\cos^2 a =1-2\left(\frac{b^2-1}{2}\right)^2 =1-\frac{(b^2-1)^2}{2}, $$
$$ (\sin a\cos a)^4=\left(\frac{b^2-1}{2}\right)^4=\frac{(b^2-1)^4}{16}. $$

Следовательно,

$$ \frac{1}{\sin^4 a}+\frac{1}{\cos^4 a} =\frac{1-\frac{(b^2-1)^2}{2}}{\frac{(b^2-1)^4}{16}} =\frac{16-8(b^2-1)^2}{(b^2-1)^4}. $$

Раскроем скобки:

$$ 16-8(b^2-1)^2 =16-8(b^4-2b^2+1) =8(1-b^4+2b^2). $$

$$ \frac{1}{\sin^4 a}+\frac{1}{\cos^4 a} =\frac{8(1-b^4+2b^2)}{(b^2-1)^4}. $$