Проверь себя Глава 2 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
2. Найти производную функции:
1) 2/x + 4 корень x — ex;
2) (3х-5)3;
3) 3sinx2x * cos х;
4) x3/x2+5.
3. Найти угол между касательной к графику функции у = х4 — 2х3 + 3 в точке с абсциссой х0 = 1/2 и осью Ох.
4. Найти значения х, при которых значения производной функции
f(x) = ln(3x+ 1)
положительны.
5. Написать уравнение касательной к графику функции f(x) = sin2х в точке с абсциссой х0= -пи/6.
1. Найти предел последовательности {хn}, если
xn= 2×4 + n2 — 4/3n4 — n3 +2
2. Выяснить, является ли непрерывной в точке х = 3 функция
f(x) система
х2-6х + 9/x-3 при x=/3,
2 при х = 3.
3. Найти значения х, при которых значения производной функции
f(x) = 2 корень x — 3ln(x + 2)
равны 0.
4. Написать уравнение той касательной к графику функции
у = 1/3*х3 — х2 + 5, которая параллельна прямой у = 3х-2.
$$f(x)=2x^3+3x^2-x,\quad x=-2.$$
$$f'(x)=6x^2+6x-1.$$
$$f'(-2)=6\cdot 4+6\cdot(-2)-1=24-12-1=11.$$
1) $$f(x)=\frac{2}{x}+4\sqrt{x}-e^x.$$
$$f'(x)=-\frac{2}{x^2}+\frac{2}{\sqrt{x}}-e^x.$$
2) $$f(x)=(3x-5)^3.$$
$$f'(x)=3(3x-5)^2\cdot 3=9(3x-5)^2.$$
3) $$f(x)=3\sin 2x\cdot \cos x.$$
$$f'(x)=3\bigl(2\cos 2x\cdot \cos x+\sin 2x\cdot(-\sin x)\bigr)=6\cos 2x\cos x-3\sin 2x\sin x.$$
4) $$f(x)=\frac{x^3}{x^2+5}.$$
$$f'(x)=\frac{3x^2(x^2+5)-x^3\cdot 2x}{(x^2+5)^2}=\frac{x^4+15x^2}{(x^2+5)^2}.$$
$$y=x^4-2x^3+3,\quad x_0=\frac12.$$
$$y'(x)=4x^3-6x^2.$$
$$y’\!\left(\frac12\right)=4\cdot\frac18-6\cdot\frac14=\frac12-\frac32=-1.$$
Угол наклона касательной к оси $$Ox$$ равен $$\alpha$$, где $$\tan\alpha=-1.$$
Следовательно, $$\alpha=-\frac{\pi}{4}.$$
$$f(x)=\ln(3x+1).$$
$$f'(x)=\frac{3}{3x+1}.$$
Требуется, чтобы $$f'(x)>0$$:
$$\frac{3}{3x+1}>0 \;\Longrightarrow\; 3x+1>0 \;\Longrightarrow\; x>-\frac13.$$
$$f(x)=\sin 2x,\quad x_0=-\frac{\pi}{6}.$$
$$f\!\left(-\frac{\pi}{6}\right)=\sin\!\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}.$$
$$f'(x)=2\cos 2x,\qquad f’\!\left(-\frac{\pi}{6}\right)=2\cos\!\left(-\frac{\pi}{3}\right)=1.$$
Уравнение касательной:
$$y+\frac{\sqrt3}{2}=1\left(x+\frac{\pi}{6}\right).$$
$$y=x-\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\pi}{6}.$$
$$x_n=\frac{2n^4+n^2-4}{3n^4-n^3+2}.$$
Делим числитель и знаменатель на $$n^4$$:
$$\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}\frac{2+\frac{1}{n^2}-\frac{4}{n^4}}{3-\frac{1}{n}+\frac{2}{n^4}}=\frac23.$$
$$f(x)= \begin{cases} \dfrac{x^2-6x+9}{x-3}, & x\ne 3,\\[6pt] 2, & x=3. \end{cases}$$
При $$x\ne 3$$:
$$\frac{x^2-6x+9}{x-3}=\frac{(x-3)^2}{x-3}=x-3.$$
Тогда
$$\lim_{x\to 3}f(x)=\lim_{x\to 3}(x-3)=0,$$
а $$f(3)=2.$$
Так как $$\lim_{x\to 3}f(x)\ne f(3),$$ функция в точке $$x=3$$ не является непрерывной.
$$f(x)=2\sqrt{x}-3\ln(x+2).$$
$$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{3}{x+2}.$$
Найдём, при каких $$x$$ производная равна нулю:
$$\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{3}{x+2}=0.$$
$$x+2=3\sqrt{x}.$$
Положим $$t=\sqrt{x}$$, тогда $$t^2-3t+2=0.$$
$$t=1 \text{ или } t=2.$$
Следовательно, $$x=1$$ или $$x=4.$$
$$y=\frac13x^3-x^2+5.$$
Касательная параллельна прямой $$y=3x-2$$, значит её угловой коэффициент равен $$3$$.
$$y'(x)=x^2-2x.$$
Ищем точки касания:
$$x^2-2x=3$$
$$x^2-2x-3=0$$
$$x=-1 \text{ или } x=3.$$
1) При $$x_0=-1$$:
$$y(-1)=\frac13(-1)^3-(-1)^2+5=\frac{11}{3}.$$
$$y-\frac{11}{3}=3(x+1),$$
$$y=3x+\frac{20}{3}.$$
2) При $$x_0=3$$:
$$y(3)=\frac13\cdot 27-9+5=5.$$
$$y-5=3(x-3),$$
$$y=3x-4.$$
Ответ
- $$11$$
- 1) $$f'(x)=-\frac{2}{x^2}+\frac{2}{\sqrt{x}}-e^x$$; 2) $$f'(x)=9(3x-5)^2$$; 3) $$f'(x)=6\cos 2x\cos x-3\sin 2x\sin x$$; 4) $$f'(x)=\frac{x^4+15x^2}{(x^2+5)^2}$$
- $$-\frac{\pi}{4}$$
- $$x>-\frac13$$
- $$y=x-\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\pi}{6}$$
- $$\frac23$$
- Функция не является непрерывной в точке $$x=3$$
- $$x=1,\;4$$
- $$y=3x-4$$; $$y=3x+\frac{20}{3}$$
