Упр.287 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 287. Записать число 625 в виде произведения двух положительных чисел так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 kolyagin11 287 118

Подробный ответ

Пусть искомые положительные числа — $$a$$ и $$b$$. Тогда

$$ab=625,\quad a>0,\quad b>0.$$

Выразим $$b$$ через $$a$$:

$$b=\frac{625}{a}.$$

Тогда сумма квадратов равна

$$S(a)=a^2+b^2=a^2+\frac{625^2}{a^2}.$$

Найдём производную:

$$S'(a)=2a-\frac{2\cdot 625^2}{a^3}=\frac{2a^4-2\cdot 625^2}{a^3}.$$

Приравняем производную к нулю:

$$2a^4-2\cdot 625^2=0,$$

$$a^4=625^2,$$