Упр.269 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
269. 1) у = х5 — 5х4 + 5×3 — 4;
2) у = 2/x + 1;
3) у = — корень x — 3 ;
4) у = 3 корень x -5 + 1;
5) у = х — sin 2x;
6) у = 2х + 1/3cos3x.
$$y=x^5-5x^4+5x^3-4$$
$$y’=5x^4-20x^3+15x^2=5x^2(x^2-4x+3)=5x^2(x-1)(x-3)$$
Так как $$5x^2\ge 0$$, знак производной определяется множителем $$(x-1)(x-3)$$.
$$y’>0$$ при $$x\in(-\infty;1)\cup(3;+\infty)$$,
$$y'<0$$ при $$x\in(1;3).$$
$$y=\frac{2}{x}+1$$
$$y’=-\frac{2}{x^2}$$
Область определения: $$x\ne 0.$$
Так как $$y'<0$$ при всех $$x\ne 0$$, функция убывает на каждом промежутке области определения.
$$y=-\sqrt{x-3}$$
$$y’=-\frac{1}{2\sqrt{x-3}}$$
Область определения: $$x-3\ge 0,$$ то есть $$x\ge 3.$$
На области определения $$y'<0$$, значит функция убывает.
$$y=3\sqrt{x-5}+1$$
$$y’=\frac{3}{2\sqrt{x-5}}$$
Область определения: $$x-5\ge 0,$$ то есть $$x\ge 5.$$
На области определения $$y’>0$$, значит функция возрастает.
$$y=x-\sin 2x$$
$$y’=1-2\cos 2x$$
Найдём, где $$y’>0$$:
$$1-2\cos 2x>0 \iff \cos 2x<\frac12.$$
Отсюда
$$\frac{\pi}{3}+2\pi n<2x<\frac{5\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
$$\frac{\pi}{6}+\pi n<x<\frac{5\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Значит, функция возрастает на $$\left(\frac{\pi}{6}+\pi n;\frac{5\pi}{6}+\pi n\right),\ n\in\mathbb Z,$$
а убывает на $$\left(-\frac{\pi}{6}+\pi n;\frac{\pi}{6}+\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$
$$y=2x+\frac13\cos 3x$$
$$y’=2+\frac13(-3\sin 3x)=2-\sin 3x$$
Так как $$-1\le \sin 3x\le 1,$$ то
$$y’=2-\sin 3x\ge 1>0.$$
Следовательно, функция возрастает при всех $$x\in\mathbb R.$$
Ответ
1) возрастает на $$(-\infty;1]\cup[3;+\infty)$$, убывает на $$[1;3]$$;
2) убывает на $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$;
3) убывает на $$[3;+\infty)$$;
4) возрастает на $$[5;+\infty)$$;
5) возрастает на $$\left(\frac{\pi}{6}+\pi n;\frac{5\pi}{6}+\pi n\right),\ n\in\mathbb Z$$, убывает на $$\left(-\frac{\pi}{6}+\pi n;\frac{\pi}{6}+\pi n\right),\ n\in\mathbb Z$$;
6) возрастает на $$(-\infty;+\infty).$$
