Упр.57 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 57. Функции f и g периодические с общим периодом T. Докажите, что функции y=f(x)+g(x) и y=f(x)g(x) являются периодическими с периодом Т.

Так как функции $$f$$ и $$g$$ периодические с общим периодом $$T$$, то для любого $$x$$ выполняется:

$$f(x+T)=f(x), \qquad g(x+T)=g(x).$$

Рассмотрим сумму $$h(x)=f(x)+g(x)$$. Тогда

$$ h(x+T)=f(x+T)+g(x+T)=f(x)+g(x)=h(x). $$

Значит, функция $$h(x)$$ периодическая с периодом $$T$$.

Теперь рассмотрим произведение $$l(x)=f(x)g(x)$$. Имеем

$$ l(x+T)=f(x+T)g(x+T)=f(x)g(x)=l(x). $$

Следовательно, функция $$l(x)$$ также периодическая с периодом $$T$$.

Ответ

Функции $$y=f(x)+g(x)$$ и $$y=f(x)g(x)$$ периодические с периодом $$T$$.