Упр.282 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 282. Какую минимальную работу по преодолению силы тяжести надо произвести, чтобы насыпать кучу песка в форме конуса высотой Н и радиусом основания R? Плотность песка равна ?, и его поднимают с плоскости основания конуса.

Рассмотрим тонкий горизонтальный слой песка на высоте $$h$$ толщиной $$dh$$.

По подобию сечений конуса радиус слоя равен

$$\frac{r(h)}{H-h}=\frac{R}{H}, \qquad r(h)=R\left(1-\frac{h}{H}\right).$$

Тогда масса этого слоя:

$$dm=\rho \pi r^2(h)\,dh=\rho \pi R^2\left(1-\frac{h}{H}\right)^2 dh.$$

Чтобы поднять слой на высоту $$h$$, нужно совершить работу

$$dA=g h\,dm=\rho \pi R^2 g\, h\left(1-\frac{h}{H}\right)^2 dh.$$

Полная работа:

$$ A=\int_0^H \rho \pi R^2 g\, h\left(1-\frac{h}{H}\right)^2 dh. $$

Раскроем скобки:

$$ A=\rho \pi R^2 g \int_0^H \left(h-\frac{2h^2}{H}+\frac{h^3}{H^2}\right)dh. $$

Интегрируем:

$$ A=\rho \pi R^2 g \left(\frac{h^2}{2}-\frac{2h^3}{3H}+\frac{h^4}{4H^2}\right)\Bigg|_0^H. $$

Подставим пределы:

$$ A=\rho \pi R^2 g \left(\frac{H^2}{2}-\frac{2H^2}{3}+\frac{H^2}{4}\right) =\rho \pi R^2 g \cdot \frac{H^2}{12}. $$

Ответ

$$\frac{\pi \rho R^2 H^2 g}{12}$$