Упр.277 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 277. Площадь фигуры, ограниченной линиями y=1/x, y=1/(2x-1), x=2, x=a, y=0, равна ln(4/v5). Найдите a.

Рассмотрим два возможных случая.

1) Если $$a>2$$, то площадь равна

$$ S=\int_{2}^{a}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2x-1}\right)\,dx =\left(\ln|x|-\frac12\ln|2x-1|\right)\Bigg|_{2}^{a}. $$

$$ S=\ln a-\frac12\ln(2a-1)-\ln 2+\frac12\ln 3 =\ln\frac{a\sqrt3}{2\sqrt{2a-1}}. $$

По условию

$$ \ln\frac{a\sqrt3}{2\sqrt{2a-1}}=\ln\frac{4}{\sqrt5}. $$

Тогда

$$ \frac{a\sqrt3}{2\sqrt{2a-1}}=\frac{4}{\sqrt5}, $$
$$ 8\sqrt{2a-1}=a\sqrt{15}. $$

Возводим в квадрат:

$$ 64(2a-1)=15a^2, $$
$$ 15a^2-128a+64=0. $$

$$ D=128^2-4\cdot15\cdot64=15544, $$
$$ a=\frac{128\pm112}{30}. $$

Получаем

$$ a_1=\frac{16}{30}<2,\qquad a_2=\frac{240}{30}=8. $$

Из условия этого случая подходит только $$a=8$$.

2) Если $$a<2$$, то

$$ S=\int_{1}^{2}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2x-1}\right)\,dx +\int_{a}^{1}\left(\frac{1}{2x-1}-\frac{1}{x}\right)\,dx. $$

$$ S=\left(\ln|x|-\frac12\ln|2x-1|\right)\Bigg|_{1}^{2} +\left(\frac12\ln|2x-1|-\ln|x|\right)\Bigg|_{a}^{1}. $$

$$ S=\ln 2-\frac12\ln 3-\frac12\ln(2a-1)+\ln a. $$

После преобразований:

$$ \ln\frac{2a}{\sqrt{3(2a-1)}}=\ln\frac{4}{\sqrt5}, $$
$$ \frac{2a}{\sqrt{3(2a-1)}}=\frac{4}{\sqrt5}. $$

Отсюда

$$ 2a\sqrt5=4\sqrt{6a-3}, $$
$$ 5a^2=4(6a-3), $$
$$ 5a^2-24a+12=0. $$

$$ D=24^2-4\cdot5\cdot12=336=16\cdot21, $$
$$ a=\frac{24\pm4\sqrt{21}}{10}=\frac{12\pm2\sqrt{21}}{5}. $$

Из них условию $$a<2$$ удовлетворяет только

$$ a=\frac{12-2\sqrt{21}}{5}. $$

Ответ

$$ 8;\ \frac{12-2\sqrt{21}}{5} $$