Упр.27 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 27. Докажите, что число (6+v(847/27))^(1/3)+(6-v(847/27))^(1/3) рационально.

Обозначим

$$x=\sqrt[3]{6+\sqrt{\frac{847}{27}}}+\sqrt[3]{6-\sqrt{\frac{847}{27}}}.$$

Тогда по формуле куба суммы получаем:

$$ x^3=\left(\sqrt[3]{6+\sqrt{\frac{847}{27}}}+\sqrt[3]{6-\sqrt{\frac{847}{27}}}\right)^3 $$

$$ =6+\sqrt{\frac{847}{27}}+6-\sqrt{\frac{847}{27}}+3\sqrt[3]{\left(6+\sqrt{\frac{847}{27}}\right)\left(6-\sqrt{\frac{847}{27}}\right)}\cdot x. $$

Так как

$$ \left(6+\sqrt{\frac{847}{27}}\right)\left(6-\sqrt{\frac{847}{27}}\right) =36-\frac{847}{27} =\frac{125}{27}, $$

то

$$ x^3=12+3x\sqrt[3]{\frac{125}{27}}=12+5x. $$

Следовательно,

$$ x^3-5x-12=0. $$

Проверим целый корень: при $$x=3$$

$$ 3^3-5\cdot 3-12=27-15-12=0. $$

Значит, $$x=3$$ — корень уравнения. Тогда

$$ x^3-5x-12=(x-3)(x^2+3x+4)=0. $$

У квадратного уравнения $$x^2+3x+4=0$$ дискриминант отрицателен:

$$ D=3^2-4\cdot 1\cdot 4=9-16=-7<0, $$

поэтому действительный корень только один: $$x=3$$.

Следовательно, данное число рационально.

Ответ

$$3$$