Упр.261 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 261. Докажите, что существует решение уравнения x»(t)=-?^2x(t), имеющее вид x=Acos(?t+?) и удовлетворяющее начальным условиям x(0)=x_0, x'(0)=v_0.

Рассмотрим функцию

$$x(t)=A\cos(\omega t+\varphi).$$

Найдём её производные:

$$x'(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi),$$

$$x»(t)=-A\omega^2\cos(\omega t+\varphi).$$

Так как $$x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),$$ то

$$x»(t)=-\omega^2x(t).$$

Значит, функция указанного вида действительно является решением уравнения

$$x»(t)=-\omega^2x(t).$$

Теперь подберём параметры $$A$$ и $$\varphi$$ из начальных условий:

$$x(0)=A\cos\varphi=x_0,$$

$$x'(0)=-A\omega\sin\varphi=v_0.$$

Из этих равенств получаем

$$A^2\cos^2\varphi=x_0^2,$$

$$A^2\omega^2\sin^2\varphi=v_0^2.$$

Складывая, имеем

$$A^2\bigl(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi\bigr)=x_0^2+\frac{v_0^2}{\omega^2},$$

откуда

$$A=\sqrt{x_0^2+\frac{v_0^2}{\omega^2}}.$$

После этого угол $$\varphi$$ можно выбрать так, чтобы выполнялись оба начальных условия:

$$\cos\varphi=\frac{x_0}{A}, \qquad \sin\varphi=-\frac{v_0}{A\omega}.$$

Следовательно, существует решение вида $$x=A\cos(\omega t+\varphi)$$, удовлетворяющее условиям $$x(0)=x_0$$ и $$x'(0)=v_0$$.

Ответ

Существует решение вида $$x(t)=A\cos(\omega t+\varphi)$$, где

$$A=\sqrt{x_0^2+\frac{v_0^2}{\omega^2}},$$

а угол $$\varphi$$ выбирается из условий

$$A\cos\varphi=x_0,\qquad -A\omega\sin\varphi=v_0.$$