Упр.238 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 238. К реке шириной a проведен под прямым углом канал шириной b. Какую максимальную длину могут иметь суда, чтобы пройти в канал? (а и b измеряются в метрах). *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolmogor10-11 zadachi/238 1023

Подробный ответ

Пусть $$\alpha$$ — угол наклона судна к берегу. Тогда длина судна равна сумме двух отрезков:

$$L(\alpha)=|AO|+|OB|=\frac{a}{\sin \alpha}+\frac{b}{\cos \alpha}, \qquad 0<\alpha<\frac{\pi}{2}.$$

Найдём минимум этой функции:

$$L'(\alpha)=-\frac{a\cos \alpha}{\sin^2 \alpha}+\frac{b\sin \alpha}{\cos^2 \alpha} =\frac{b\sin^3 \alpha-a\cos^3 \alpha}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}.$$

Приравниваем производную к нулю:

$$b\sin^3 \alpha-a\cos^3 \alpha=0,$$

откуда

$$b\tan^3 \alpha=a,\qquad \tan \alpha=\sqrt[3]{\frac{a}{b}}.$$

Тогда

$$\sin \alpha=\frac{\tan \alpha}{\sqrt{1+\tan^2 \alpha}}, \qquad \cos \alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2 \alpha}}.$$

Подставим найденное значение:

$$L_{\max}=\frac{a}{\sin \alpha}+\frac{b}{\cos \alpha} =\left(\frac{a}{\tan \alpha}+b\right)\sqrt{1+\tan^2 \alpha}.$$

Так как $$\tan \alpha=\sqrt[3]{\frac{a}{b}},$$ то

$$\frac{a}{\tan \alpha}=a\sqrt[3]{\frac{b}{a}}=\sqrt[3]{a^2b},$$

$$\sqrt{1+\tan^2 \alpha}=\sqrt{1+\sqrt[3]{\frac{a^2}{b^2}}} =\frac{\sqrt{a^{2/3}+b^{2/3}}}{b^{1/3}}.$$

В итоге получаем