Упр.233 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) 3^v2 или 2^v3;
б) (1/1987)^(1/1987) или (1/1988)^(1/1988)?

Подробный ответ

а) Сравним числа $$3^{\sqrt{2}}$$ и $$2^{\sqrt{3}}$$.

Рассмотрим функцию

$$f(x)=\frac{\ln x}{\sqrt{x}}, \quad x>0.$$

Найдём производную:

$$ f'(x)=\frac{\frac{1}{x}\sqrt{x}-\ln x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x})^2} =\frac{2-\ln x}{2x\sqrt{x}}. $$

Так как при $$x>0$$ знаменатель положителен, то знак производной определяется числителем:

$$2-\ln x\ge 0 \iff \ln x\le 2 \iff x\le e^2.$$

Значит, на промежутке $$x\le e^2$$ функция $$f(x)$$ возрастает.

Сравним значения функции в точках $$3$$ и $$2$$:

$$f(3)=\frac{\ln 3}{\sqrt{3}}, \quad f(2)=\frac{\ln 2}{\sqrt{2}}.$$

Так как $$3>2$$ и функция возрастает, то

$$\frac{\ln 3}{\sqrt{3}} > \frac{\ln 2}{\sqrt{2}}.$$

Умножим на $$\sqrt{2}\sqrt{3}$$:

$$\sqrt{2}\ln 3 > \sqrt{3}\ln 2.$$

Возводя в экспоненту, получаем

$$\ln 3^{\sqrt{2}} > \ln 2^{\sqrt{3}},$$

следовательно,

$$3^{\sqrt{2}} > 2^{\sqrt{3}}.$$

б) Сравним числа $$\left(\frac{1}{1987}\right)^{\frac{1}{1987}}$$ и $$\left(\frac{1}{1988}\right)^{\frac{1}{1988}}$$.

Рассмотрим функцию

$$f(x)=x^x,\quad 0<x<1.$$

Представим её в виде

$$f(x)=e^{x\ln x}.$$

Тогда

$$ f'(x)=e^{x\ln x}(\ln x+1)=x^x(\ln x+1). $$

Для $$0<x<1$$ имеем $$\ln x<0$$, а при достаточно малых $$x$$ функция убывает; в частности, на отрезке, содержащем $$\frac1{1988}$$ и $$\frac1{1987}$$, значение $$x^x$$ больше при меньшем основании. Поэтому

$$\left(\frac{1}{1987}\right)^{\frac{1}{1987}} < \left(\frac{1}{1988}\right)^{\frac{1}{1988}}.$$