Упр.232 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 232. Найдите кратчайшее расстояние от точки M(0; 1) до графика функции f(x)=1/(4v3x^(3/2)).

Подробный ответ

Пусть точка графика имеет координаты $$\left(x,\frac{1}{4\sqrt{3}x^{3/2}}\right), \quad x>0.$$ Тогда расстояние от точки $$M(0;1)$$ до этой точки равно

$$ S(x)=\sqrt{x^2+\left(1-\frac{1}{4\sqrt{3}x^{3/2}}\right)^2}. $$

Найдём минимум функции $$S(x)$$. Удобнее рассмотреть квадрат расстояния:

$$ S^2(x)=x^2+\left(1-\frac{1}{4\sqrt{3}x^{3/2}}\right)^2. $$

После раскрытия скобок получаем

$$ S^2(x)=x^2+1-\frac{1}{2\sqrt{3}x^{3/2}}+\frac{1}{48x^3}. $$

Минимум достигается при

$$ x=\frac12. $$

Тогда

$$ S\left(\frac12\right)=\sqrt{\frac14+\left(1-\frac{1}{4\sqrt{3}\left(\frac12\right)^{3/2}}\right)^2}. $$

Так как

$$ \frac{1}{4\sqrt{3}\left(\frac12\right)^{3/2}}=\frac{1}{\sqrt6}, $$

то