Упр.228 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) f(x)=4x^3-x|x-2| на [0; 3];
б) f(x)=max(R, 10/(x^2+4?x+41)+cos(x)).

а) Рассмотрим функцию $$f(x)=4x^3-x|x-2|$$ на отрезке $$[0;3].$$

Разобьём отрезок по точке $$x=2.$$

Если $$0\le x\le 2,$$ то $$|x-2|=2-x,$$ значит

$$f(x)=4x^3-x(2-x)=4x^3+x^2-2x.$$

Если $$2\le x\le 3,$$ то $$|x-2|=x-2,$$ значит

$$f(x)=4x^3-x(x-2)=4x^3-x^2+2x.$$

Найдём производные на каждом промежутке:

$$f_1′(x)=12x^2+2x-2,$$

$$f_2′(x)=12x^2-2x+2.$$

Для $$f_2′(x)$$ имеем

$$12x^2-2x+2>0,$$

так как дискриминант уравнения $$12x^2-2x+2=0$$ равен

$$D=(-2)^2-4\cdot 12\cdot 2=4-96<0.$$

Значит, на $$[2;3]$$ функция возрастает.

Для $$f_1′(x)=12x^2+2x-2$$ найдём корни:

$$6x^2+x-1=0,$$

$$D=1+24=25,$$

$$x_1=\frac{-1-5}{12}=-\frac12,\qquad x_2=\frac{-1+5}{12}=\frac13.$$

На отрезке $$[0;2]$$ производная меняет знак в точке $$x=\frac13,$$ поэтому проверим значения функции в концах отрезков и в этой точке:

$$f(0)=0,$$

$$f\!\left(\frac13\right)=4\cdot\frac1{27}+\frac1{9}-2\cdot\frac13=\frac4{27}+\frac3{27}-\frac{18}{27}=-\frac{11}{27},$$

$$f(2)=4\cdot 8-2\cdot 0=32,$$

$$f(3)=4\cdot 27-3\cdot 1=105.$$

Следовательно, наименьшее значение равно $$-\frac{11}{27},$$ а наибольшее — $$105.$$

б) Пусть

$$f(x)=\max\left(\frac{10}{x^2+4\pi x+41}+\cos x\right).$$

Так как $$-1\le \cos x\le 1,$$ а

$$x^2+4\pi x+41=(x+2\pi)^2+41-4\pi^2\ge 41-4\pi^2,$$

то

$$\frac{10}{x^2+4\pi x+41}\le \frac{10}{41-4\pi^2}.$$

Значит, наибольшее значение выражения не превосходит

$$\frac{10}{41-4\pi^2}+1.$$

Это значение достигается при $$x=-2\pi,$$ так как тогда

$$x^2+4\pi x+41=41-4\pi^2,\qquad \cos(-2\pi)=1.$$

Следовательно, наибольшее значение равно

$$\frac{10}{41-4\pi^2}+1.$$

Ответ

а) $$-\frac{11}{27};\ 105.$$

б) $$\frac{10}{41-4\pi^2}+1.$$